Интеграл -sin(x)^(3) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |      3      
 |  -sin (x) dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} - \sin^{3}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \sin^{3}{\left (x \right )}\, dx = - \int \sin^{3}{\left (x \right )}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{3}{\left (x \right )} = \left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )}$

   2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

         $\int u^{2} - 1\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int -1\, du = - u$

            Результат есть: $\frac{u^{3}}{3} - u$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx = - \int \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

               Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )}$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

         Результат есть: $\frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                     
  /                                     
 |                         3            
 |      3           2   cos (1)         
 |  -sin (x) dx = - - - ------- + cos(1)
 |                  3      3            
/                                       
0                                       

$$-{{\cos ^31-3\,\cos 1}\over{3}}-{{2}\over{3}}$$

Численный ответ

-0.178940562548858

Ответ (Неопределённый)

  /                                  
 |                      3            
 |     3             cos (x)         
 | -sin (x) dx = C - ------- + cos(x)
 |                      3            
/                                    

$$\cos x-{{\cos ^3x}\over{3}}$$