Интеграл n*x^n-1 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |  /   n    \   
 |  \n*x  - 1/ dx
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} \left(n x^{n} - 1\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int n x^{n}\, dx = n \int x^{n}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{n}\, dx = \begin{cases} \frac{x^{n + 1}}{n + 1} & \text{for}\: n \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwестьe} \end{cases}$

      Таким образом, результат будет: $n \left(\begin{cases} \frac{x^{n + 1}}{n + 1} & \text{for}\: n \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwестьe} \end{cases}\right)$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \left(\left(-1\right) 1\right)\, dx = - x$

   Результат есть: $n \left(\begin{cases} \frac{x^{n + 1}}{n + 1} & \text{for}\: n \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwестьe} \end{cases}\right) - x$

2. Теперь упростить:

   $\begin{cases} \frac{x \left(n x^{n} - n - 1\right)}{n + 1} & \text{for}\: n > -1 \vee n < -1 \\n \log{\left(x \right)} - x & \text{otherwестьe} \end{cases}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} \frac{x \left(n x^{n} - n - 1\right)}{n + 1} & \text{for}\: n > -1 \vee n < -1 \\n \log{\left(x \right)} - x & \text{otherwестьe} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\begin{cases} \frac{x \left(n x^{n} - n - 1\right)}{n + 1} & \text{for}\: n > -1 \vee n < -1 \\n \log{\left(x \right)} - x & \text{otherwестьe} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Ответ

     //           1 + n                                   \
     ||  n     n*0                                        |
     ||----- - --------  for And(n > -oo, n < oo, n != -1)|
-1 + |<1 + n    1 + n                                     |
     ||                                                   |
     ||   oo*sign(n)                 otherwise            |
     \\                                                   /

$$\begin{cases} - \frac{0^{n + 1} n}{n + 1} + \frac{n}{n + 1} & \text{for}\: n > -\infty \wedge n < \infty \wedge n \neq -1 \\\infty \operatorname{sign}{\left(n \right)} & \text{otherwise} \end{cases} - 1$$

=

=

     //           1 + n                                   \
     ||  n     n*0                                        |
     ||----- - --------  for And(n > -oo, n < oo, n != -1)|
-1 + |<1 + n    1 + n                                     |
     ||                                                   |
     ||   oo*sign(n)                 otherwise            |
     \\                                                   /

$$\begin{cases} - \frac{0^{n + 1} n}{n + 1} + \frac{n}{n + 1} & \text{for}\: n > -\infty \wedge n < \infty \wedge n \neq -1 \\\infty \operatorname{sign}{\left(n \right)} & \text{otherwise} \end{cases} - 1$$

Ответ (Неопределённый)

  /                          // 1 + n             \
 |                           ||x                  |
 | /   n    \                ||------  for n != -1|
 | \n*x  - 1/ dx = C - x + n*|<1 + n              |
 |                           ||                   |
/                            ||log(x)   otherwise |
                             \\                   /

$$\int \left(n x^{n} - 1\right)\, dx = C + n \left(\begin{cases} \frac{x^{n + 1}}{n + 1} & \text{for}\: n \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwise} \end{cases}\right) - x$$