Интеграл 1/(t*(t+1)) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |        1       
 |  1*--------- dt
 |    t*(t + 1)   
 |                
/                 
0                 

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{t \left(t + 1\right)}\, dt$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{t \left(t + 1\right)} = - \frac{1}{t + 1} + \frac{1}{t}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{t + 1}\, dt = - \int \frac{1}{t + 1}\, dt$

         1. пусть $u = t + 1$.

            Тогда пусть $du = dt$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (t + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left (t + 1 \right )}$

      1. Интеграл $\frac{1}{t}$ есть $\log{\left (t \right )}$.

      Результат есть: $\log{\left (t \right )} - \log{\left (t + 1 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{t \left(t + 1\right)} = \frac{1}{t^{2} + t}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{t^{2} + t} = - \frac{1}{t + 1} + \frac{1}{t}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{t + 1}\, dt = - \int \frac{1}{t + 1}\, dt$

         1. пусть $u = t + 1$.

            Тогда пусть $du = dt$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (t + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left (t + 1 \right )}$

      1. Интеграл $\frac{1}{t}$ есть $\log{\left (t \right )}$.

      Результат есть: $\log{\left (t \right )} - \log{\left (t + 1 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left (t \right )} - \log{\left (t + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\log{\left (t \right )} - \log{\left (t + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

oo

$$\infty$$

=

=

oo

$$\infty$$

Численный ответ

43.3972989534329

Ответ (Неопределённый)

  /                                        
 |                                         
 |       1                                 
 | 1*--------- dt = C - log(1 + t) + log(t)
 |   t*(t + 1)                             
 |                                         
/                                          

$$\int 1 \cdot \frac{1}{t \left(t + 1\right)}\, dt = C + \log{\left(t \right)} - \log{\left(t + 1 \right)}$$