Производная 1/(t*(t+1))

Вы ввели

    1    
---------
t*(t + 1)

$$\frac{1}{t \left(t + 1\right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = t \left(t + 1\right)$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t}\left(t \left(t + 1\right)\right)$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d t}\left(f{\left (t \right )} g{\left (t \right )}\right) = f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$

      $f{\left (t \right )} = t$; найдём $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

      $g{\left (t \right )} = t + 1$; найдём $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

      1. дифференцируем $t + 1$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

         2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате: $2 t + 1$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 t + 1}{t^{2} \left(t + 1\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2 t + 1}{t^{2} \left(t + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{2 t + 1}{t^{2} \left(t + 1\right)^{2}}$

Первая производная

    1               
---------*(-1 - 2*t)
t*(t + 1)           
--------------------
     t*(t + 1)      

$$\frac{\frac{1}{t} \frac{1}{t + 1}}{t \left(t + 1\right)} \left(- 2 t - 1\right)$$

Вторая производная

     1 + 2*t   1 + 2*t             /1     1  \
-2 + ------- + ------- + (1 + 2*t)*|- + -----|
        t       1 + t              \t   1 + t/
----------------------------------------------
                  2        2                  
                 t *(1 + t)                   

$$\frac{1}{t^{2} \left(t + 1\right)^{2}} \left(\left(2 t + 1\right) \left(\frac{1}{t + 1} + \frac{1}{t}\right) - 2 + \frac{2 t + 1}{t + 1} + \frac{1}{t} \left(2 t + 1\right)\right)$$

Третья производная

                                                                                            /1     1  \             /1     1  \              
                                                                                  (1 + 2*t)*|- + -----|   (1 + 2*t)*|- + -----|              
8     8     3*(1 + 2*t)   3*(1 + 2*t)               /1       1           1    \             \t   1 + t/             \t   1 + t/   4*(1 + 2*t)
- + ----- - ----------- - ----------- - 2*(1 + 2*t)*|-- + -------- + ---------| - --------------------- - --------------------- - -----------
t   1 + t         2                2                | 2          2   t*(1 + t)|             t                     1 + t            t*(1 + t) 
                 t          (1 + t)                 \t    (1 + t)             /                                                              
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                  2        2                                                                 
                                                                 t *(1 + t)                                                                  

$$\frac{1}{t^{2} \left(t + 1\right)^{2}} \left(- 2 \left(2 t + 1\right) \left(\frac{1}{\left(t + 1\right)^{2}} + \frac{1}{t \left(t + 1\right)} + \frac{1}{t^{2}}\right) - \frac{1}{t + 1} \left(2 t + 1\right) \left(\frac{1}{t + 1} + \frac{1}{t}\right) + \frac{8}{t + 1} - \frac{6 t + 3}{\left(t + 1\right)^{2}} - \frac{1}{t} \left(2 t + 1\right) \left(\frac{1}{t + 1} + \frac{1}{t}\right) + \frac{8}{t} - \frac{8 t + 4}{t \left(t + 1\right)} - \frac{1}{t^{2}} \left(6 t + 3\right)\right)$$