Интеграл 5/(1+x^2) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    5      
 |  ------ dx
 |       2   
 |  1 + x    
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{5}{x^{2} + 1}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /         
 |          
 |   5      
 | ------ dx
 |      2   
 | 1 + x    
 |          
/           

Перепишем подинтегральную функцию

  5          5    
------ = ---------
     2       2    
1 + x    (-x)  + 1

или

  /           
 |            
 |   5        
 | ------ dx  
 |      2    =
 | 1 + x      
 |            
/             
  

    /            
   |             
   |     1       
5* | --------- dx
   |     2       
   | (-x)  + 1   
   |             
  /              

В интеграле

    /            
   |             
   |     1       
5* | --------- dx
   |     2       
   | (-x)  + 1   
   |             
  /              

сделаем замену

v = -x

тогда

интеграл =

    /                     
   |                      
   |   1                  
5* | ------ dv = 5*atan(v)
   |      2               
   | 1 + v                
   |                      
  /                       

делаем обратную замену

    /                        
   |                         
   |     1                   
5* | --------- dx = 5*atan(x)
   |     2                   
   | (-x)  + 1               
   |                         
  /                          

Решением будет:

C + 5*atan(x)

Ответ

  1                 
  /                 
 |                  
 |    5         5*pi
 |  ------ dx = ----
 |       2       4  
 |  1 + x           
 |                  
/                   
0                   

$${{5\,\pi}\over{4}}$$

Численный ответ

3.92699081698724

Ответ (Неопределённый)

  /                         
 |                          
 |   5                      
 | ------ dx = C + 5*atan(x)
 |      2                   
 | 1 + x                    
 |                          
/                           

$$5\,\arctan x$$