Интеграл 5*cos(x)^(2) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |       2      
 |  5*cos (x) dx
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} 5 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 5 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{5 x}{2} + \frac{5 \sin{\left(2 x \right)}}{4}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{5 x}{2} + \frac{5 \sin{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{5 x}{2} + \frac{5 \sin{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ

5   5*cos(1)*sin(1)
- + ---------------
2          2       

$$\frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{5}{2}$$

=

=

5   5*cos(1)*sin(1)
- + ---------------
2          2       

$$\frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{5}{2}$$

Численный ответ

3.6366217835321

Ответ (Неопределённый)

  /                                   
 |                                    
 |      2             5*x   5*sin(2*x)
 | 5*cos (x) dx = C + --- + ----------
 |                     2        4     
/                                     

$$\int 5 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{5 x}{2} + \frac{5 \sin{\left(2 x \right)}}{4}$$

График