Интеграл sin(5*x)^(5) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     5        
 |  sin (5*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{5}{\left(5 x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{5}{\left(5 x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right)^{2} \sin{\left(5 x \right)}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 5 x$.

      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $du$:

      $\int \left(\frac{\sin{\left(u \right)} \cos^{4}{\left(u \right)}}{5} - \frac{2 \sin{\left(u \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}}{5} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\right)\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)} \cos^{4}{\left(u \right)}}{5}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)} \cos^{4}{\left(u \right)}\, du}{5}$

            1. пусть $u = \cos{\left(u \right)}$.

               Тогда пусть $du = - \sin{\left(u \right)} du$ и подставим $- du$:

               $\int u^{4}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\cos^{5}{\left(u \right)}}{5}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos^{5}{\left(u \right)}}{25}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{2 \sin{\left(u \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}}{5}\right)\, du = - \frac{2 \int \sin{\left(u \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{5}$

            1. пусть $u = \cos{\left(u \right)}$.

               Тогда пусть $du = - \sin{\left(u \right)} du$ и подставим $- du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{2 \cos^{3}{\left(u \right)}}{15}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}$

         Результат есть: $- \frac{\cos^{5}{\left(u \right)}}{25} + \frac{2 \cos^{3}{\left(u \right)}}{15} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\cos^{5}{\left(5 x \right)}}{25} + \frac{2 \cos^{3}{\left(5 x \right)}}{15} - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right)^{2} \sin{\left(5 x \right)} = \sin{\left(5 x \right)} \cos^{4}{\left(5 x \right)} - 2 \sin{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \cos{\left(5 x \right)}$.

         Тогда пусть $du = - 5 \sin{\left(5 x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{5}$:

         $\int \frac{u^{4}}{25}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{u^{4}}{5}\right)\, du = - \frac{\int u^{4}\, du}{5}$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{25}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos^{5}{\left(5 x \right)}}{25}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 2 \sin{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \cos{\left(5 x \right)}$.

            Тогда пусть $du = - 5 \sin{\left(5 x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{5}$:

            $\int \frac{u^{2}}{25}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{u^{2}}{5}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{5}$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{15}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos^{3}{\left(5 x \right)}}{15}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2 \cos^{3}{\left(5 x \right)}}{15}$

      1. пусть $u = 5 x$.

         Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{25}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$

      Результат есть: $- \frac{\cos^{5}{\left(5 x \right)}}{25} + \frac{2 \cos^{3}{\left(5 x \right)}}{15} - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right)^{2} \sin{\left(5 x \right)} = \sin{\left(5 x \right)} \cos^{4}{\left(5 x \right)} - 2 \sin{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \cos{\left(5 x \right)}$.

         Тогда пусть $du = - 5 \sin{\left(5 x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{5}$:

         $\int \frac{u^{4}}{25}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{u^{4}}{5}\right)\, du = - \frac{\int u^{4}\, du}{5}$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{25}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos^{5}{\left(5 x \right)}}{25}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 2 \sin{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \cos{\left(5 x \right)}$.

            Тогда пусть $du = - 5 \sin{\left(5 x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{5}$:

            $\int \frac{u^{2}}{25}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{u^{2}}{5}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{5}$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{15}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos^{3}{\left(5 x \right)}}{15}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2 \cos^{3}{\left(5 x \right)}}{15}$

      1. пусть $u = 5 x$.

         Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{25}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$

      Результат есть: $- \frac{\cos^{5}{\left(5 x \right)}}{25} + \frac{2 \cos^{3}{\left(5 x \right)}}{15} - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$

3. Теперь упростить:

   $- \frac{\left(3 \sin^{4}{\left(5 x \right)} + 4 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 8\right) \cos{\left(5 x \right)}}{75}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\left(3 \sin^{4}{\left(5 x \right)} + 4 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 8\right) \cos{\left(5 x \right)}}{75}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\left(3 \sin^{4}{\left(5 x \right)} + 4 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 8\right) \cos{\left(5 x \right)}}{75}+ \mathrm{constant}$

Ответ

                 5           3   
8    cos(5)   cos (5)   2*cos (5)
-- - ------ - ------- + ---------
75     5         25         15   

$$- \frac{\cos{\left(5 \right)}}{5} - \frac{\cos^{5}{\left(5 \right)}}{25} + \frac{2 \cos^{3}{\left(5 \right)}}{15} + \frac{8}{75}$$

=

=

                 5           3   
8    cos(5)   cos (5)   2*cos (5)
-- - ------ - ------- + ---------
75     5         25         15   

$$- \frac{\cos{\left(5 \right)}}{5} - \frac{\cos^{5}{\left(5 \right)}}{25} + \frac{2 \cos^{3}{\left(5 \right)}}{15} + \frac{8}{75}$$

Численный ответ

0.0529040549362126

Ответ (Неопределённый)

  /                                                     
 |                                  5             3     
 |    5               cos(5*x)   cos (5*x)   2*cos (5*x)
 | sin (5*x) dx = C - -------- - --------- + -----------
 |                       5           25           15    
/                                                       

$$\int \sin^{5}{\left(5 x \right)}\, dx = C - \frac{\cos^{5}{\left(5 x \right)}}{25} + \frac{2 \cos^{3}{\left(5 x \right)}}{15} - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$$

График