Интеграл sin(y)^(2) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1           
      /           
     |            
     |     2      
     |  sin (y) dy
     |            
    /             
    0             
    01sin2(y)dy\int_{0}^{1} \sin^{2}{\left (y \right )}\, dy
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      sin2(y)=12cos(2y)+12\sin^{2}{\left (y \right )} = - \frac{1}{2} \cos{\left (2 y \right )} + \frac{1}{2}

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        12cos(2y)dy=12cos(2y)dy\int - \frac{1}{2} \cos{\left (2 y \right )}\, dy = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 y \right )}\, dy

        1. пусть u=2yu = 2 y.

          Тогда пусть du=2dydu = 2 dy и подставим du2\frac{du}{2}:

          cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            cos(u)du=12cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

              cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}

            Таким образом, результат будет: 12sin(u)\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          12sin(2y)\frac{1}{2} \sin{\left (2 y \right )}

        Таким образом, результат будет: 14sin(2y)- \frac{1}{4} \sin{\left (2 y \right )}

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        12dy=y2\int \frac{1}{2}\, dy = \frac{y}{2}

      Результат есть: y214sin(2y)\frac{y}{2} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 y \right )}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      y214sin(2y)+constant\frac{y}{2} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 y \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    y214sin(2y)+constant\frac{y}{2} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 y \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-1010
    Ответ [src]
      1                               
      /                               
     |                                
     |     2         1   cos(1)*sin(1)
     |  sin (y) dy = - - -------------
     |               2         2      
    /                                 
    0                                 
    sin224-{{\sin 2-2}\over{4}}
    Численный ответ [src]
    0.27267564329358
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                             
     |                              
     |    2             y   sin(2*y)
     | sin (y) dy = C + - - --------
     |                  2      4    
    /                               
    ysin(2y)22{{y-{{\sin \left(2\,y\right)}\over{2}}}\over{2}}