Интеграл (sin(x)-5)^2 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                 
      /                 
     |                  
     |              2   
     |  (sin(x) - 5)  dx
     |                  
    /                   
    0                   
    01(sin(x)5)2dx\int_{0}^{1} \left(\sin{\left (x \right )} - 5\right)^{2}\, dx
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      (sin(x)5)2=sin2(x)10sin(x)+25\left(\sin{\left (x \right )} - 5\right)^{2} = \sin^{2}{\left (x \right )} - 10 \sin{\left (x \right )} + 25

    2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        sin2(x)=12cos(2x)+12\sin^{2}{\left (x \right )} = - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          12cos(2x)dx=12cos(2x)dx\int - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx

          1. пусть u=2xu = 2 x.

            Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

            cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              cos(u)du=12cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}

              Таким образом, результат будет: 12sin(u)\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            12sin(2x)\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}

          Таким образом, результат будет: 14sin(2x)- \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        Результат есть: x214sin(2x)\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        10sin(x)dx=10sin(x)dx\int - 10 \sin{\left (x \right )}\, dx = - 10 \int \sin{\left (x \right )}\, dx

        1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

          sin(x)dx=cos(x)\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}

        Таким образом, результат будет: 10cos(x)10 \cos{\left (x \right )}

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        25dx=25x\int 25\, dx = 25 x

      Результат есть: 51x214sin(2x)+10cos(x)\frac{51 x}{2} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )} + 10 \cos{\left (x \right )}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      51x214sin(2x)+10cos(x)+constant\frac{51 x}{2} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )} + 10 \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    51x214sin(2x)+10cos(x)+constant\frac{51 x}{2} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )} + 10 \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-500500
    Ответ [src]
      1                                                                      
      /                                                                      
     |                             2         2                               
     |              2           cos (1)   sin (1)               cos(1)*sin(1)
     |  (sin(x) - 5)  dx = 15 + ------- + ------- + 10*cos(1) - -------------
     |                             2         2                        2      
    /                                                                        
    0                                                                        
    sin224+10cos1+15-{{\sin 2-2}\over{4}}+10\,\cos 1+15
    Численный ответ [src]
    20.675698701975
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                  
     |                                                   
     |             2                      sin(2*x)   51*x
     | (sin(x) - 5)  dx = C + 10*cos(x) - -------- + ----
     |                                       4        2  
    /                                                    
    xsin(2x)22+10cosx+25x{{x-{{\sin \left(2\,x\right)}\over{2}}}\over{2}}+10\,\cos x+25\,x