Интеграл t/(t^2+1) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    t      
 |  ------ dt
 |   2       
 |  t  + 1   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{t}{t^{2} + 1}\, dt$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /         
 |          
 |   t      
 | ------ dt
 |  2       
 | t  + 1   
 |          
/           

Перепишем подинтегральную функцию

         /    2*t     \            
         |------------|            
         | 2          |            
  t      \t  + 0*t + 1/       0    
------ = -------------- + ---------
 2             2              2    
t  + 1                    (-t)  + 1

или

  /           
 |            
 |   t        
 | ------ dt  
 |  2        =
 | t  + 1     
 |            
/             
  

  /               
 |                
 |     2*t        
 | ------------ dt
 |  2             
 | t  + 0*t + 1   
 |                
/                 
------------------
        2         

В интеграле

  /               
 |                
 |     2*t        
 | ------------ dt
 |  2             
 | t  + 0*t + 1   
 |                
/                 
------------------
        2         

сделаем замену

     2
u = t 

тогда

интеграл =

  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du             
 | 1 + u                
 |                      
/             log(1 + u)
----------- = ----------
     2            2     

делаем обратную замену

  /                             
 |                              
 |     2*t                      
 | ------------ dt              
 |  2                           
 | t  + 0*t + 1                 
 |                      /     2\
/                    log\1 + t /
------------------ = -----------
        2                 2     

В интеграле

0

сделаем замену

v = -t

тогда

интеграл =

True

делаем обратную замену

True

Решением будет:

       /     2\
    log\1 + t /
C + -----------
         2     

Ответ

  1                   
  /                   
 |                    
 |    t         log(2)
 |  ------ dt = ------
 |   2            2   
 |  t  + 1            
 |                    
/                     
0                     

$${{\log 2}\over{2}}$$

Численный ответ

0.346573590279973

Ответ (Неопределённый)

  /                           
 |                    / 2    \
 |   t             log\t  + 1/
 | ------ dt = C + -----------
 |  2                   2     
 | t  + 1                     
 |                            
/                             

$${{\log \left(t^2+1\right)}\over{2}}$$