Интеграл tan(x)^(5) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     5      
 |  tan (x) dx
 |            
/             
0             

$$\int\limits_{0}^{1} \tan^{5}{\left(x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\tan^{5}{\left(x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sec^{2}{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{4 u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}\, du}{2}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} = u - 2 + \frac{1}{u}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \left(-2\right)\, du = - 2 u$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Результат есть: $\frac{u^{2}}{2} - 2 u + \log{\left(u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{2}}{4} - u + \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \sec^{4}{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = 4 \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{1}{16}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{\int 1\, du}{4}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Таким образом, результат будет: $\frac{u}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sec^{2}{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{\int 1\, du}{2}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \sec^{2}{\left(x \right)}$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

      2. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

      Результат есть: $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \sec^{4}{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = 4 \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{1}{16}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{\int 1\, du}{4}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Таким образом, результат будет: $\frac{u}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sec^{2}{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{\int 1\, du}{2}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \sec^{2}{\left(x \right)}$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

      2. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

      Результат есть: $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

                            2   
3                 -1 + 4*cos (1)
- - log(cos(1)) - --------------
4                        4      
                    4*cos (1)   

$$- \frac{-1 + 4 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{4 \cos^{4}{\left(1 \right)}} - \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)} + \frac{3}{4}$$

=

=

                            2   
3                 -1 + 4*cos (1)
- - log(cos(1)) - --------------
4                        4      
                    4*cos (1)   

$$- \frac{-1 + 4 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{4 \cos^{4}{\left(1 \right)}} - \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)} + \frac{3}{4}$$

Численный ответ

0.87365244751029

Ответ (Неопределённый)

  /                                                 
 |                     /   2   \                4   
 |    5             log\sec (x)/      2      sec (x)
 | tan (x) dx = C + ------------ - sec (x) + -------
 |                       2                      4   
/                                                   

$$\int \tan^{5}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}$$

График