Интеграл (tan(x)^3) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     3      
 |  tan (x) dx
 |            
/             
0             

$$\int\limits_{0}^{1} \tan^{3}{\left(x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\tan^{3}{\left(x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sec^{2}{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u - 1}{4 u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u - 1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{u - 1}{u}\, du}{2}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$

            Результат есть: $u - \log{\left(u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \sec^{2}{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{\int 1\, du}{2}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \tan{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \tan{\left(x \right)}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

         2. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

      Результат есть: $\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \sec^{2}{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{\int 1\, du}{2}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \tan{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \tan{\left(x \right)}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

         2. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

      Результат есть: $\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1       1                  
- - + --------- + log(cos(1))
  2        2                 
      2*cos (1)              

$$\log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(1 \right)}}$$

=

=

  1       1                  
- - + --------- + log(cos(1))
  2        2                 
      2*cos (1)              

$$\log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(1 \right)}}$$

Численный ответ

0.597132940021366

Ответ (Неопределённый)

  /                                       
 |                     2         /   2   \
 |    3             sec (x)   log\sec (x)/
 | tan (x) dx = C + ------- - ------------
 |                     2           2      
/                                         

$$\int \tan^{3}{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$$

График