Интеграл (3*x-1)^8 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           8   
 |  (3*x - 1)  dx
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} \left(3 x - 1\right)^{8}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x - 1$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{8}}{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{8}}{3}\, du = \frac{\int u^{8}\, du}{3}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{9}}{27}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(3 x - 1\right)^{9}}{27}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(3 x - 1\right)^{8} = 6561 x^{8} - 17496 x^{7} + 20412 x^{6} - 13608 x^{5} + 5670 x^{4} - 1512 x^{3} + 252 x^{2} - 24 x + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 6561 x^{8}\, dx = 6561 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $729 x^{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 17496 x^{7}\right)\, dx = - 17496 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $- 2187 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 20412 x^{6}\, dx = 20412 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $2916 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 13608 x^{5}\right)\, dx = - 13608 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- 2268 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5670 x^{4}\, dx = 5670 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $1134 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 1512 x^{3}\right)\, dx = - 1512 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 378 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 252 x^{2}\, dx = 252 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $84 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 24 x\right)\, dx = - 24 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 12 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $729 x^{9} - 2187 x^{8} + 2916 x^{7} - 2268 x^{6} + 1134 x^{5} - 378 x^{4} + 84 x^{3} - 12 x^{2} + x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(3 x - 1\right)^{9}}{27}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(3 x - 1\right)^{9}}{27}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\left(3 x - 1\right)^{9}}{27}+ \mathrm{constant}$

Ответ

19

$$19$$

=

=

19

$$19$$

Численный ответ

19.0

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              9
 |          8          (3*x - 1) 
 | (3*x - 1)  dx = C + ----------
 |                         27    
/                                

$$\int \left(3 x - 1\right)^{8}\, dx = C + \frac{\left(3 x - 1\right)^{9}}{27}$$

График