Интеграл y^5/(y+2) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1         
      /         
     |          
     |     5    
     |    y     
     |  ----- dy
     |  y + 2   
     |          
    /           
    0           
    01y5y+2dy\int\limits_{0}^{1} \frac{y^{5}}{y + 2}\, dy
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      y5y+2=y42y3+4y28y+1632y+2\frac{y^{5}}{y + 2} = y^{4} - 2 y^{3} + 4 y^{2} - 8 y + 16 - \frac{32}{y + 2}

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл yny^{n} есть yn+1n+1\frac{y^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

        y4dy=y55\int y^{4}\, dy = \frac{y^{5}}{5}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        (2y3)dy=2y3dy\int \left(- 2 y^{3}\right)\, dy = - 2 \int y^{3}\, dy

        1. Интеграл yny^{n} есть yn+1n+1\frac{y^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

          y3dy=y44\int y^{3}\, dy = \frac{y^{4}}{4}

        Таким образом, результат будет: y42- \frac{y^{4}}{2}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        4y2dy=4y2dy\int 4 y^{2}\, dy = 4 \int y^{2}\, dy

        1. Интеграл yny^{n} есть yn+1n+1\frac{y^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

          y2dy=y33\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}

        Таким образом, результат будет: 4y33\frac{4 y^{3}}{3}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        (8y)dy=8ydy\int \left(- 8 y\right)\, dy = - 8 \int y\, dy

        1. Интеграл yny^{n} есть yn+1n+1\frac{y^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

          ydy=y22\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}

        Таким образом, результат будет: 4y2- 4 y^{2}

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        16dy=16y\int 16\, dy = 16 y

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        (32y+2)dy=321y+2dy\int \left(- \frac{32}{y + 2}\right)\, dy = - 32 \int \frac{1}{y + 2}\, dy

        1. пусть u=y+2u = y + 2.

          Тогда пусть du=dydu = dy и подставим dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          log(y+2)\log{\left(y + 2 \right)}

        Таким образом, результат будет: 32log(y+2)- 32 \log{\left(y + 2 \right)}

      Результат есть: y55y42+4y334y2+16y32log(y+2)\frac{y^{5}}{5} - \frac{y^{4}}{2} + \frac{4 y^{3}}{3} - 4 y^{2} + 16 y - 32 \log{\left(y + 2 \right)}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      y55y42+4y334y2+16y32log(y+2)+constant\frac{y^{5}}{5} - \frac{y^{4}}{2} + \frac{4 y^{3}}{3} - 4 y^{2} + 16 y - 32 \log{\left(y + 2 \right)}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    y55y42+4y334y2+16y32log(y+2)+constant\frac{y^{5}}{5} - \frac{y^{4}}{2} + \frac{4 y^{3}}{3} - 4 y^{2} + 16 y - 32 \log{\left(y + 2 \right)}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2525
    Ответ [src]
    391                        
    --- - 32*log(3) + 32*log(2)
     30                        
    32log(3)+39130+32log(2)- 32 \log{\left(3 \right)} + \frac{391}{30} + 32 \log{\left(2 \right)}
    =
    =
    391                        
    --- - 32*log(3) + 32*log(2)
     30                        
    32log(3)+39130+32log(2)- 32 \log{\left(3 \right)} + \frac{391}{30} + 32 \log{\left(2 \right)}
    Численный ответ [src]
    0.0584498738720731
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                           
     |                                                            
     |    5                                          4    5      3
     |   y                               2          y    y    4*y 
     | ----- dy = C - 32*log(2 + y) - 4*y  + 16*y - -- + -- + ----
     | y + 2                                        2    5     3  
     |                                                            
    /                                                             
    y5y+2dy=C+y55y42+4y334y2+16y32log(y+2)\int \frac{y^{5}}{y + 2}\, dy = C + \frac{y^{5}}{5} - \frac{y^{4}}{2} + \frac{4 y^{3}}{3} - 4 y^{2} + 16 y - 32 \log{\left(y + 2 \right)}
    График
    Интеграл y^5/(y+2) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/4/b5/20cb441ef9ff2d38c9a76bd69cddb.png