Интеграл (8*x-4)^3 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1              
      /              
     |               
     |           3   
     |  (8*x - 4)  dx
     |               
    /                
    0                
    01(8x4)3dx\int\limits_{0}^{1} \left(8 x - 4\right)^{3}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=8x4u = 8 x - 4.

        Тогда пусть du=8dxdu = 8 dx и подставим du8\frac{du}{8}:

        u364du\int \frac{u^{3}}{64}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          u38du=u3du8\int \frac{u^{3}}{8}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{8}

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            u3du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

          Таким образом, результат будет: u432\frac{u^{4}}{32}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        (8x4)432\frac{\left(8 x - 4\right)^{4}}{32}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (8x4)3=512x3768x2+384x64\left(8 x - 4\right)^{3} = 512 x^{3} - 768 x^{2} + 384 x - 64

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          512x3dx=512x3dx\int 512 x^{3}\, dx = 512 \int x^{3}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            x3dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

          Таким образом, результат будет: 128x4128 x^{4}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (768x2)dx=768x2dx\int \left(- 768 x^{2}\right)\, dx = - 768 \int x^{2}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Таким образом, результат будет: 256x3- 256 x^{3}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          384xdx=384xdx\int 384 x\, dx = 384 \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: 192x2192 x^{2}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          (64)dx=64x\int \left(-64\right)\, dx = - 64 x

        Результат есть: 128x4256x3+192x264x128 x^{4} - 256 x^{3} + 192 x^{2} - 64 x

    2. Теперь упростить:

      8(2x1)48 \left(2 x - 1\right)^{4}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      8(2x1)4+constant8 \left(2 x - 1\right)^{4}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    8(2x1)4+constant8 \left(2 x - 1\right)^{4}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-100100
    Ответ [src]
    0
    00
    =
    =
    0
    00
    Численный ответ [src]
    1.18808422011213e-21
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                              
     |                              4
     |          3          (8*x - 4) 
     | (8*x - 4)  dx = C + ----------
     |                         32    
    /                                
    (8x4)3dx=C+(8x4)432\int \left(8 x - 4\right)^{3}\, dx = C + \frac{\left(8 x - 4\right)^{4}}{32}
    График
    Интеграл (8*x-4)^3 (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/d/29/0ec6985c989100298690dbb169e10.png