Интеграл x/(x^4-9) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    x      
 |  ------ dx
 |   4       
 |  x  - 9   
 |           
/            
0            

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{x^{4} - 9}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x^{2}$.

      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{2 u^{2} - 18}\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{2 u^{2} - 18} = \frac{- \frac{1}{u + 3} + \frac{1}{u - 3}}{12}$

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{- \frac{1}{u + 3} + \frac{1}{u - 3}}{12}\, du = \frac{\int \left(- \frac{1}{u + 3} + \frac{1}{u - 3}\right)\, du}{12}$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл $\frac{1}{u - 3}$ есть $\log{\left(u - 3 \right)}$.

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{u + 3}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 3}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u + 3}$ есть $\log{\left(u + 3 \right)}$.

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u + 3 \right)}$

            Результат есть: $\log{\left(u - 3 \right)} - \log{\left(u + 3 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u - 3 \right)}}{12} - \frac{\log{\left(u + 3 \right)}}{12}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\log{\left(x^{2} - 3 \right)}}{12} - \frac{\log{\left(x^{2} + 3 \right)}}{12}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{x^{4} - 9} = - \frac{x}{6 \left(x^{2} + 3\right)} + \frac{x}{6 \left(x^{2} - 3\right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{x}{6 \left(x^{2} + 3\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{x}{x^{2} + 3}\, dx}{6}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{x}{x^{2} + 3}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 3}\, dx}{2}$

            1. пусть $u = x^{2} + 3$.

               Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(x^{2} + 3 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 3 \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x^{2} + 3 \right)}}{12}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{x}{6 \left(x^{2} - 3\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x}{x^{2} - 3}\, dx}{6}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{x}{x^{2} - 3}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} - 3}\, dx}{2}$

            1. пусть $u = x^{2} - 3$.

               Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(x^{2} - 3 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} - 3 \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} - 3 \right)}}{12}$

      Результат есть: $\frac{\log{\left(x^{2} - 3 \right)}}{12} - \frac{\log{\left(x^{2} + 3 \right)}}{12}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\log{\left(x^{2} - 3 \right)}}{12} - \frac{\log{\left(x^{2} + 3 \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\log{\left(x^{2} - 3 \right)}}{12} - \frac{\log{\left(x^{2} + 3 \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  log(4)   log(2)
- ------ + ------
    12       12  

$$- \frac{\log{\left(4 \right)}}{12} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{12}$$

=

=

  log(4)   log(2)
- ------ + ------
    12       12  

$$- \frac{\log{\left(4 \right)}}{12} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{12}$$

Численный ответ

-0.0577622650466621

Ответ (Неопределённый)

  /                                          
 |                    /     2\      /      2\
 |   x             log\3 + x /   log\-3 + x /
 | ------ dx = C - ----------- + ------------
 |  4                   12            12     
 | x  - 9                                    
 |                                           
/                                            

$$\int \frac{x}{x^{4} - 9}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} - 3 \right)}}{12} - \frac{\log{\left(x^{2} + 3 \right)}}{12}$$

График