Интеграл x*asin(1-x) (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |  x*asin(1 - x) dx
 |                  
/                   
0                   

$$\int_{0}^{1} x \operatorname{asin}{\left (- x + 1 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{asin}{\left (- x + 1 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sqrt{- \left(- x + 1\right)^{2} + 1}}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \frac{x^{2}}{2 \sqrt{- \left(- x + 1\right)^{2} + 1}}\, dx = - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{- \left(- x + 1\right)^{2} + 1}}\, dx$

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $\int \frac{x^{2}}{\sqrt{- x \left(x - 2\right)}}\, dx$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{- x \left(x - 2\right)}}\, dx$

3. Теперь упростить:

   $- \frac{x^{2}}{2} \operatorname{asin}{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{- x \left(x - 2\right)}}\, dx$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{x^{2}}{2} \operatorname{asin}{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{- x \left(x - 2\right)}}\, dx+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{x^{2}}{2} \operatorname{asin}{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{- x \left(x - 2\right)}}\, dx+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                             
  /                             
 |                          3*pi
 |  x*asin(1 - x) dx = -1 + ----
 |                           8  
/                               
0                               

$${{3\,\pi}\over{8}}-1$$

Численный ответ

0.178097245096172

Ответ (Неопределённый)

                            /                                   
                           |                                    
                           |         2                          
                           |        x                           
                           | --------------- dx                 
                           |   _____________                    
                           | \/ -x*(-2 + x)                     
  /                        |                       2            
 |                        /                       x *asin(1 - x)
 | x*asin(1 - x) dx = C + --------------------- + --------------
 |                                  2                   2       
/                                                               

$${{-{{x\,\sqrt{2\,x-x^2}}\over{2}}-{{3\,\sqrt{2\,x-x^2}}\over{2}}-{{ 3\,\arcsin \left({{2-2\,x}\over{2}}\right)}\over{2}}}\over{2}}-{{ \arcsin \left(x-1\right)\,x^2}\over{2}}$$