Интеграл x*(e^x)^2 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |        2   
 |    / x\    
 |  x*\e /  dx
 |            
/             
0             

$$\int\limits_{0}^{1} x \left(e^{x}\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $x \left(e^{x}\right)^{2} = x e^{2 x}$

2. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{2 x}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u}\, du = \frac{1}{2} \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{e^{2 x}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{e^{2 x}}{2}\, dx = \frac{1}{2} \int e^{2 x}\, dx$

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u}\, du = \frac{1}{2} \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{e^{2 x}}{2}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{e^{2 x}}{4}$

4. Теперь упростить:

   $\frac{e^{2 x}}{4} \left(2 x - 1\right)$

5. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{e^{2 x}}{4} \left(2 x - 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{e^{2 x}}{4} \left(2 x - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

     2
1   e 
- + --
4   4 

$$\frac{1}{4} + \frac{e^{2}}{4}$$

=

=

     2
1   e 
- + --
4   4 

$$\frac{1}{4} + \frac{e^{2}}{4}$$

Численный ответ

2.09726402473266

Ответ (Неопределённый)

  /                                
 |                                 
 |       2                      2*x
 |   / x\           (-1 + 2*x)*e   
 | x*\e /  dx = C + ---------------
 |                         4       
/                                  

$$\int x \left(e^{x}\right)^{2}\, dx = C + \frac{\left(2 x - 1\right) e^{2 x}}{4}$$

График