Интеграл x*sin(t-x) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |  x*sin(t - x) dx
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} x \sin{\left (t - x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (t - x \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. пусть $u = t - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\cos{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\cos{\left (t - x \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. пусть $u = t - x$.

   Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

   $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \cos{\left (u \right )}\, du = - \int \cos{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \sin{\left (u \right )}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- \sin{\left (t - x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \cos{\left (t - x \right )} + \sin{\left (t - x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \cos{\left (t - x \right )} + \sin{\left (t - x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                      
  /                                                      
 |                                                       
 |  x*sin(t - x) dx = -sin(t) + cos(-1 + t) + sin(-1 + t)
 |                                                       
/                                                        
0                                                        

$$-\sin t+\sin \left(t-1\right)+\cos \left(t-1\right)$$

Ответ (Неопределённый)

  /                                               
 |                                                
 | x*sin(t - x) dx = C + x*cos(t - x) + sin(t - x)
 |                                                
/                                                 

$$-\sin \left(x-t\right)+\left(x-t\right)\,\cos \left(x-t\right)+t\, \cos \left(x-t\right)$$