Интеграл x*(3-x)^7 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           7   
 |  x*(3 - x)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} x \left(- x + 3\right)^{7}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $x \left(- x + 3\right)^{7} = - x^{8} + 21 x^{7} - 189 x^{6} + 945 x^{5} - 2835 x^{4} + 5103 x^{3} - 5103 x^{2} + 2187 x$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - x^{8}\, dx = - \int x^{8}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{9}}{9}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 21 x^{7}\, dx = 21 \int x^{7}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{21 x^{8}}{8}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 189 x^{6}\, dx = - 189 \int x^{6}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      Таким образом, результат будет: $- 27 x^{7}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 945 x^{5}\, dx = 945 \int x^{5}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{315 x^{6}}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 2835 x^{4}\, dx = - 2835 \int x^{4}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Таким образом, результат будет: $- 567 x^{5}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 5103 x^{3}\, dx = 5103 \int x^{3}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{5103 x^{4}}{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 5103 x^{2}\, dx = - 5103 \int x^{2}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $- 1701 x^{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2187 x\, dx = 2187 \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{2187 x^{2}}{2}$

   Результат есть: $- \frac{x^{9}}{9} + \frac{21 x^{8}}{8} - 27 x^{7} + \frac{315 x^{6}}{2} - 567 x^{5} + \frac{5103 x^{4}}{4} - 1701 x^{3} + \frac{2187 x^{2}}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{72} \left(- 8 x^{7} + 189 x^{6} - 1944 x^{5} + 11340 x^{4} - 40824 x^{3} + 91854 x^{2} - 122472 x + 78732\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{72} \left(- 8 x^{7} + 189 x^{6} - 1944 x^{5} + 11340 x^{4} - 40824 x^{3} + 91854 x^{2} - 122472 x + 78732\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{72} \left(- 8 x^{7} + 189 x^{6} - 1944 x^{5} + 11340 x^{4} - 40824 x^{3} + 91854 x^{2} - 122472 x + 78732\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |           7      16867
 |  x*(3 - x)  dx = -----
 |                    72 
/                        
0                        

$${{16867}\over{72}}$$

Численный ответ

234.263888888889

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                      
 |                                                 9       8        6         2         4
 |          7                3        5       7   x    21*x    315*x    2187*x    5103*x 
 | x*(3 - x)  dx = C - 1701*x  - 567*x  - 27*x  - -- + ----- + ------ + ------- + -------
 |                                                9      8       2         2         4   
/                                                                                        

$$-{{8\,x^9-189\,x^8+1944\,x^7-11340\,x^6+40824\,x^5-91854\,x^4+ 122472\,x^3-78732\,x^2}\over{72}}$$