Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл x^2*cos(3*x)^3 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

∫d
Примеры

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Виды выражений

    уравнение x^2*cos(3*x)^3 = 0
    неявная функция x^2*cos(3*x)^3
    производная неявной x^2*cos(3*x)^3
    канонический вид x^2*cos(3*x)^3
    система уравнений x^2*cos(3*x)^3
    интеграл x^2*cos(3*x)^3
    построить график x^2*cos(3*x)^3
    предел x^2*cos(3*x)^3
    производная x^2*cos(3*x)^3
    упростить x^2*cos(3*x)^3
    обычный калькулятор x^2*cos(3*x)^3

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                
  /                
 |                 
 |   2    3        
 |  x *cos (3*x) dx
 |                 
/                  
0
    ∫01x2cos⁡3(3x) dx\int\limits_{0}^{1} x^{2} \cos^{3}{\left(3 x \right)}\, dx
    Подробное решение

    1. Используем интегрирование по частям:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} и пусть dv⁡(x)=cos⁡3(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos^{3}{\left(3 x \right)}.

      Затем du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

      Чтобы найти v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        cos⁡3(3x)=(1−sin⁡2(3x))cos⁡(3x)\cos^{3}{\left(3 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(3 x \right)}\right) \cos{\left(3 x \right)}

      2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

        Метод #1

        1. пусть u=sin⁡(3x)u = \sin{\left(3 x \right)}.

          Тогда пусть du=3cos⁡(3x)dxdu = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx и подставим dudu:

          ∫(13−u23) du\int \left(\frac{1}{3} - \frac{u^{2}}{3}\right)\, du

          1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              ∫13 du=u3\int \frac{1}{3}\, du = \frac{u}{3}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              ∫(−u23) du=−∫u2 du3\int \left(- \frac{u^{2}}{3}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{3}

              1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Таким образом, результат будет: −u39- \frac{u^{3}}{9}

            Результат есть: −u39+u3- \frac{u^{3}}{9} + \frac{u}{3}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          −sin⁡3(3x)9+sin⁡(3x)3- \frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

        Метод #2

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          (1−sin⁡2(3x))cos⁡(3x)=−sin⁡2(3x)cos⁡(3x)+cos⁡(3x)\left(1 - \sin^{2}{\left(3 x \right)}\right) \cos{\left(3 x \right)} = - \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            ∫(−sin⁡2(3x)cos⁡(3x)) dx=−∫sin⁡2(3x)cos⁡(3x) dx\int \left(- \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\, dx

            1. пусть u=sin⁡(3x)u = \sin{\left(3 x \right)}.

              Тогда пусть du=3cos⁡(3x)dxdu = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx и подставим du3\frac{du}{3}:

              ∫u29 du\int \frac{u^{2}}{9}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                ∫u23 du=∫u2 du3\int \frac{u^{2}}{3}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{3}

                1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Таким образом, результат будет: u39\frac{u^{3}}{9}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              sin⁡3(3x)9\frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9}

            Таким образом, результат будет: −sin⁡3(3x)9- \frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9}

          1. пусть u=3xu = 3 x.

            Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

            ∫cos⁡(u)9 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              ∫cos⁡(u)3 du=∫cos⁡(u) du3\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Таким образом, результат будет: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

          Результат есть: −sin⁡3(3x)9+sin⁡(3x)3- \frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

        Метод #3

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          (1−sin⁡2(3x))cos⁡(3x)=−sin⁡2(3x)cos⁡(3x)+cos⁡(3x)\left(1 - \sin^{2}{\left(3 x \right)}\right) \cos{\left(3 x \right)} = - \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            ∫(−sin⁡2(3x)cos⁡(3x)) dx=−∫sin⁡2(3x)cos⁡(3x) dx\int \left(- \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\, dx

            1. пусть u=sin⁡(3x)u = \sin{\left(3 x \right)}.

              Тогда пусть du=3cos⁡(3x)dxdu = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx и подставим du3\frac{du}{3}:

              ∫u29 du\int \frac{u^{2}}{9}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                ∫u23 du=∫u2 du3\int \frac{u^{2}}{3}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{3}

                1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Таким образом, результат будет: u39\frac{u^{3}}{9}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              sin⁡3(3x)9\frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9}

            Таким образом, результат будет: −sin⁡3(3x)9- \frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9}

          1. пусть u=3xu = 3 x.

            Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

            ∫cos⁡(u)9 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              ∫cos⁡(u)3 du=∫cos⁡(u) du3\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Таким образом, результат будет: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

          Результат есть: −sin⁡3(3x)9+sin⁡(3x)3- \frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Используем интегрирование по частям:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=2x9u{\left(x \right)} = \frac{2 x}{9} и пусть dv⁡(x)=−sin⁡3(3x)+3sin⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = - \sin^{3}{\left(3 x \right)} + 3 \sin{\left(3 x \right)}.

      Затем du⁡(x)=29\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{9}.

      Чтобы найти v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫(−sin⁡3(3x)) dx=−∫sin⁡3(3x) dx\int \left(- \sin^{3}{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{3}{\left(3 x \right)}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            sin⁡3(3x)=(1−cos⁡2(3x))sin⁡(3x)\sin^{3}{\left(3 x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) \sin{\left(3 x \right)}

          2. пусть u=cos⁡(3x)u = \cos{\left(3 x \right)}.

            Тогда пусть du=−3sin⁡(3x)dxdu = - 3 \sin{\left(3 x \right)} dx и подставим dudu:

            ∫(u23−13) du\int \left(\frac{u^{2}}{3} - \frac{1}{3}\right)\, du

            1. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                ∫u23 du=∫u2 du3\int \frac{u^{2}}{3}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{3}

                1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Таким образом, результат будет: u39\frac{u^{3}}{9}

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                ∫(−13) du=−u3\int \left(- \frac{1}{3}\right)\, du = - \frac{u}{3}

              Результат есть: u39−u3\frac{u^{3}}{9} - \frac{u}{3}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            cos⁡3(3x)9−cos⁡(3x)3\frac{\cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

          Таким образом, результат будет: −cos⁡3(3x)9+cos⁡(3x)3- \frac{\cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫3sin⁡(3x) dx=3∫sin⁡(3x) dx\int 3 \sin{\left(3 x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(3 x \right)}\, dx

          1. пусть u=3xu = 3 x.

            Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

            ∫sin⁡(u)9 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              ∫sin⁡(u)3 du=∫sin⁡(u) du3\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Таким образом, результат будет: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

          Таким образом, результат будет: −cos⁡(3x)- \cos{\left(3 x \right)}

        Результат есть: −cos⁡3(3x)9−2cos⁡(3x)3- \frac{\cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{3}

      Теперь решаем под-интеграл.

    3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫(−2cos⁡3(3x)81) dx=−2∫cos⁡3(3x) dx81\int \left(- \frac{2 \cos^{3}{\left(3 x \right)}}{81}\right)\, dx = - \frac{2 \int \cos^{3}{\left(3 x \right)}\, dx}{81}

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          cos⁡3(3x)=(1−sin⁡2(3x))cos⁡(3x)\cos^{3}{\left(3 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(3 x \right)}\right) \cos{\left(3 x \right)}

        2. пусть u=sin⁡(3x)u = \sin{\left(3 x \right)}.

          Тогда пусть du=3cos⁡(3x)dxdu = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx и подставим dudu:

          ∫(13−u23) du\int \left(\frac{1}{3} - \frac{u^{2}}{3}\right)\, du

          1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              ∫13 du=u3\int \frac{1}{3}\, du = \frac{u}{3}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              ∫(−u23) du=−∫u2 du3\int \left(- \frac{u^{2}}{3}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{3}

              1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Таким образом, результат будет: −u39- \frac{u^{3}}{9}

            Результат есть: −u39+u3- \frac{u^{3}}{9} + \frac{u}{3}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          −sin⁡3(3x)9+sin⁡(3x)3- \frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

        Таким образом, результат будет: 2sin⁡3(3x)729−2sin⁡(3x)243\frac{2 \sin^{3}{\left(3 x \right)}}{729} - \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{243}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫(−4cos⁡(3x)27) dx=−4∫cos⁡(3x) dx27\int \left(- \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{27}\right)\, dx = - \frac{4 \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{27}

        1. пусть u=3xu = 3 x.

          Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

          ∫cos⁡(u)9 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            ∫cos⁡(u)3 du=∫cos⁡(u) du3\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Таким образом, результат будет: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

        Таким образом, результат будет: −4sin⁡(3x)81- \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{81}

      Результат есть: 2sin⁡3(3x)729−14sin⁡(3x)243\frac{2 \sin^{3}{\left(3 x \right)}}{729} - \frac{14 \sin{\left(3 x \right)}}{243}

    4. Теперь упростить:

      x2sin⁡(3x)4+x2sin⁡(9x)36+xcos⁡(3x)6+xcos⁡(9x)162−sin⁡(3x)18−sin⁡(9x)1458\frac{x^{2} \sin{\left(3 x \right)}}{4} + \frac{x^{2} \sin{\left(9 x \right)}}{36} + \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{6} + \frac{x \cos{\left(9 x \right)}}{162} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{18} - \frac{\sin{\left(9 x \right)}}{1458}

    5. Добавляем постоянную интегрирования:

      x2sin⁡(3x)4+x2sin⁡(9x)36+xcos⁡(3x)6+xcos⁡(9x)162−sin⁡(3x)18−sin⁡(9x)1458+constant\frac{x^{2} \sin{\left(3 x \right)}}{4} + \frac{x^{2} \sin{\left(9 x \right)}}{36} + \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{6} + \frac{x \cos{\left(9 x \right)}}{162} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{18} - \frac{\sin{\left(9 x \right)}}{1458}+ \mathrm{constant}

    Ответ:

    x2sin⁡(3x)4+x2sin⁡(9x)36+xcos⁡(3x)6+xcos⁡(9x)162−sin⁡(3x)18−sin⁡(9x)1458+constant\frac{x^{2} \sin{\left(3 x \right)}}{4} + \frac{x^{2} \sin{\left(9 x \right)}}{36} + \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{6} + \frac{x \cos{\left(9 x \right)}}{162} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{18} - \frac{\sin{\left(9 x \right)}}{1458}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-1
    Построить график f(x)
    Ответ [src]
          3             3           2                   2          
14*cos (3)   122*sin (3)   4*sin (3)*cos(3)   67*cos (3)*sin(3)
---------- + ----------- + ---------------- + -----------------
    81           729              27                 243
    14cos⁡3(3)81+4sin⁡2(3)cos⁡(3)27+122sin⁡3(3)729+67sin⁡(3)cos⁡2(3)243\frac{14 \cos^{3}{\left(3 \right)}}{81} + \frac{4 \sin^{2}{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{27} + \frac{122 \sin^{3}{\left(3 \right)}}{729} + \frac{67 \sin{\left(3 \right)} \cos^{2}{\left(3 \right)}}{243}
    =
    =
          3             3           2                   2          
14*cos (3)   122*sin (3)   4*sin (3)*cos(3)   67*cos (3)*sin(3)
---------- + ----------- + ---------------- + -----------------
    81           729              27                 243
    14cos⁡3(3)81+4sin⁡2(3)cos⁡(3)27+122sin⁡3(3)729+67sin⁡(3)cos⁡2(3)243\frac{14 \cos^{3}{\left(3 \right)}}{81} + \frac{4 \sin^{2}{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{27} + \frac{122 \sin^{3}{\left(3 \right)}}{729} + \frac{67 \sin{\left(3 \right)} \cos^{2}{\left(3 \right)}}{243}
    Упростить
    Численный ответ [src]
    -0.132017933181652
    Ответ (Неопределённый) [src]
                                                                                           /                  3     \
  /                                                                                    |  2*cos(3*x)   cos (3*x)|
 |                                          3           /     3                \   2*x*|- ---------- - ---------|
 |  2    3               14*sin(3*x)   2*sin (3*x)    2 |  sin (3*x)   sin(3*x)|       \      3            9    /
 | x *cos (3*x) dx = C - ----------- + ----------- + x *|- --------- + --------| - ------------------------------
 |                           243           729          \      9          3    /                 9               
/
    ∫x2cos⁡3(3x) dx=C+x2(−sin⁡3(3x)9+sin⁡(3x)3)−2x(−cos⁡3(3x)9−2cos⁡(3x)3)9+2sin⁡3(3x)729−14sin⁡(3x)243\int x^{2} \cos^{3}{\left(3 x \right)}\, dx = C + x^{2} \left(- \frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\right) - \frac{2 x \left(- \frac{\cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{3}\right)}{9} + \frac{2 \sin^{3}{\left(3 x \right)}}{729} - \frac{14 \sin{\left(3 x \right)}}{243}
    Упростить
    График
    Интеграл x^2*cos(3*x)^3 (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/b/aa/78a26c8248eedfccf613ccf5a4fcd.png