Интеграл cos(x)^3*sin(x) (dx)

  1                  
  /                  
 |                   
 |     3             
 |  cos (x)*sin(x) dx
 |                   
/                    
0                    

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

      $\int u^{3}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{4}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{4} \cos^{4}{\left (x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin{\left (x \right )} \cos^{3}{\left (x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

   2. пусть $u = \sin^{2}{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

      $\int - \frac{u}{2} + \frac{1}{2}\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{u}{2}\, du = - \frac{1}{2} \int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{4}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

         Результат есть: $- \frac{u^{2}}{4} + \frac{u}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{4} \sin^{4}{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \sin^{2}{\left (x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{4} \cos^{4}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{1}{4} \cos^{4}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

  1                                
  /                                
 |                             4   
 |     3                1   cos (1)
 |  cos (x)*sin(x) dx = - - -------
 |                      4      4   
/                                  
0                                  

0.228694717720381

  /                               
 |                            4   
 |    3                    cos (x)
 | cos (x)*sin(x) dx = C - -------
 |                            4   
/