Интеграл cos(x)^3*sin(x) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1                  
      /                  
     |                   
     |     3             
     |  cos (x)*sin(x) dx
     |                   
    /                    
    0                    
    $$\int_{0}^{1} \sin{\left (x \right )} \cos^{3}{\left (x \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Интеграл есть :

          Таким образом, результат будет:

        Если сейчас заменить ещё в:

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл есть :

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          Результат есть:

        Если сейчас заменить ещё в:

    2. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                                
      /                                
     |                             4   
     |     3                1   cos (1)
     |  cos (x)*sin(x) dx = - - -------
     |                      4      4   
    /                                  
    0                                  
    $${{1}\over{4}}-{{\cos ^41}\over{4}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.228694717720381
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                               
     |                            4   
     |    3                    cos (x)
     | cos (x)*sin(x) dx = C - -------
     |                            4   
    /                                 
    $$-{{\cos ^4x}\over{4}}$$