Интеграл cos(x)^3*sin(x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                  
      /                  
     |                   
     |     3             
     |  cos (x)*sin(x) dx
     |                   
    /                    
    0                    
    01sin(x)cos3(x)dx\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Тогда пусть du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx и подставим du- du:

        u3du\int u^{3}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (u3)du=u3du\int \left(- u^{3}\right)\, du = - \int u^{3}\, du

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            u3du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

          Таким образом, результат будет: u44- \frac{u^{4}}{4}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        cos4(x)4- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        sin(x)cos3(x)=(1sin2(x))sin(x)cos(x)\sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

      2. пусть u=sin2(x)u = \sin^{2}{\left(x \right)}.

        Тогда пусть du=2sin(x)cos(x)dxdu = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx и подставим dudu:

        (12u2)du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u}{2}\right)\, du

        1. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            12du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            (u2)du=udu2\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{2}

            1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

              udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Таким образом, результат будет: u24- \frac{u^{2}}{4}

          Результат есть: u24+u2- \frac{u^{2}}{4} + \frac{u}{2}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        sin4(x)4+sin2(x)2- \frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      cos4(x)4+constant- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    cos4(x)4+constant- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.5-0.5
    Ответ [src]
           4   
    1   cos (1)
    - - -------
    4      4   
    14cos4(1)4\frac{1}{4} - \frac{\cos^{4}{\left(1 \right)}}{4}
    =
    =
           4   
    1   cos (1)
    - - -------
    4      4   
    14cos4(1)4\frac{1}{4} - \frac{\cos^{4}{\left(1 \right)}}{4}
    Численный ответ [src]
    0.228694717720381
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                               
     |                            4   
     |    3                    cos (x)
     | cos (x)*sin(x) dx = C - -------
     |                            4   
    /                                 
    sin(x)cos3(x)dx=Ccos4(x)4\int \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}
    График
    Интеграл cos(x)^3*sin(x) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/6/90/5d585f02cb64b2bd72772c788b85d.png