Интеграл (x^3+8*x-2)/(x^4+4*x^2) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |   3             
 |  x  + 8*x - 2   
 |  ------------ dx
 |    4      2     
 |   x  + 4*x      
 |                 
/                  
0                  

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{3} + 8 x - 2}{x^{4} + 4 x^{2}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{3} + 8 x - 2}{x^{4} + 4 x^{2}} = - \frac{2 x - 1}{2 x^{2} + 8} + \frac{2}{x} - \frac{1}{2 x^{2}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{2 x - 1}{2 x^{2} + 8}\, dx = - \frac{1}{2} \int \frac{2 x - 1}{x^{2} + 4}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{2 x - 1}{x^{2} + 4} = \frac{2 x}{x^{2} + 4} - \frac{1}{x^{2} + 4}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{2 x}{x^{2} + 4}\, dx = 2 \int \frac{x}{x^{2} + 4}\, dx$

               1. пусть $u = x^{2} + 4$.

                  Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 4 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\log{\left (x^{2} + 4 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{x^{2} + 4}\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} + 4}\, dx$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{x^{2} + 4}\, dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{x^{2}}{4} + 1}\, dx$

                  1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

                     Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

                     $\int \frac{2}{u^{2} + 1}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{2}{u^{2} + 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{u^{2} + 1}\, dx$

                        1. Интеграл $\frac{1}{u^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (u \right )}$.

                        Таким образом, результат будет: $2 \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $2 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

            Результат есть: $\log{\left (x^{2} + 4 \right )} - \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 4 \right )} + \frac{1}{4} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2}{x}\, dx = 2 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $2 \log{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{2 x^{2}}\, dx = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2 x}$

      Результат есть: $2 \log{\left (x \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 4 \right )} + \frac{1}{4} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2 x}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{3} + 8 x - 2}{x^{4} + 4 x^{2}} = \frac{x^{3}}{x^{4} + 4 x^{2}} + \frac{8 x}{x^{4} + 4 x^{2}} - \frac{2}{x^{4} + 4 x^{2}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{3}}{x^{4} + 4 x^{2}} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

      2. пусть $u = x^{2} + 4$.

         Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 4 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{8 x}{x^{4} + 4 x^{2}}\, dx = 8 \int \frac{x}{x^{4} + 4 x^{2}}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{x^{4} + 4 x^{2}} = - \frac{x}{4 x^{2} + 16} + \frac{1}{4 x}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{x}{4 x^{2} + 16}\, dx = - \frac{1}{4} \int \frac{x}{x^{2} + 4}\, dx$

               1. пусть $u = x^{2} + 4$.

                  Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 4 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{8} \log{\left (x^{2} + 4 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{4 x}\, dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x}\, dx$

               1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \log{\left (x \right )}$

            Результат есть: $\frac{1}{4} \log{\left (x \right )} - \frac{1}{8} \log{\left (x^{2} + 4 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $2 \log{\left (x \right )} - \log{\left (x^{2} + 4 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{2}{x^{4} + 4 x^{2}}\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{4} + 4 x^{2}}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{x^{4} + 4 x^{2}} = - \frac{1}{4 x^{2} + 16} + \frac{1}{4 x^{2}}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{4 x^{2} + 16}\, dx = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{2} + 4}\, dx$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{x^{2} + 4}\, dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{x^{2}}{4} + 1}\, dx$

                  1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

                     Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

                     $\int \frac{2}{u^{2} + 1}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{2}{u^{2} + 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{u^{2} + 1}\, dx$

                        1. Интеграл $\frac{1}{u^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (u \right )}$.

                        Таким образом, результат будет: $2 \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $2 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{8} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{4 x^{2}}\, dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

               1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4 x}$

            Результат есть: $- \frac{1}{8} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )} - \frac{1}{4 x}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2 x}$

      Результат есть: $2 \log{\left (x \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 4 \right )} + \frac{1}{4} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2 x}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{4 x} \left(x \left(8 \log{\left (x \right )} - 2 \log{\left (x^{2} + 4 \right )} + \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) + 2\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{4 x} \left(x \left(8 \log{\left (x \right )} - 2 \log{\left (x^{2} + 4 \right )} + \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) + 2\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{4 x} \left(x \left(8 \log{\left (x \right )} - 2 \log{\left (x^{2} + 4 \right )} + \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) + 2\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

-oo

$$-\infty$$

=

=

-oo

$$-\infty$$

Численный ответ

-6.89661838974298e+18

Ответ (Неопределённый)

  /                                                            
 |                                                          /x\
 |  3                                        /     2\   atan|-|
 | x  + 8*x - 2           1               log\4 + x /       \2/
 | ------------ dx = C + --- + 2*log(x) - ----------- + -------
 |   4      2            2*x                   2           4   
 |  x  + 4*x                                                   
 |                                                             
/                                                              

$$\int \frac{x^{3} + 8 x - 2}{x^{4} + 4 x^{2}}\, dx = C + 2 \log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{2 x}$$