Интеграл tan(x/3)^(3) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1           
      /           
     |            
     |     3/x\   
     |  tan |-| dx
     |      \3/   
     |            
    /             
    0             
    $$\int_{0}^{1} \tan^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

      3. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

        Метод #1

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Перепишите подынтегральное выражение:

              2. Интегрируем почленно:

                1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  1. Интеграл есть .

                  Таким образом, результат будет:

                Результат есть:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Метод #2

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Интегрируем почленно:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл есть :

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

            2. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл есть .

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

          Результат есть:

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

            2. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл есть .

                Таким образом, результат будет:

              Результат есть:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        Если сейчас заменить ещё в:

    2. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                                                           
      /                                                           
     |                                             /       2     \
     |     3/x\        3          3           3*log\1 - sin (1/3)/
     |  tan |-| dx = - - - ---------------- + --------------------
     |      \3/        2             2                 2          
     |                     -2 + 2*sin (1/3)                       
    /                                                             
    0                                                             
    $$3\,\left({{\log \left(1-\sin ^2\left({{1}\over{3}}\right)\right) }\over{2}}-{{1}\over{2\,\sin ^2\left({{1}\over{3}}\right)-2}}-{{1 }\over{2}}\right)$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.00998954487832324
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                      /     2/x\\        2/x\
     |                  3*log|3*sec |-||   3*sec |-|
     |    3/x\               \      \3//         \3/
     | tan |-| dx = C - ---------------- + ---------
     |     \3/                 2               2    
     |                                              
    /                                               
    $$3\,\left({{\log \left(\sin ^2\left({{x}\over{3}}\right)-1\right) }\over{2}}-{{1}\over{2\,\sin ^2\left({{x}\over{3}}\right)-2}}\right)$$