Интеграл (x^3+1)/(x^2+x) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |   3       
 |  x  + 1   
 |  ------ dx
 |   2       
 |  x  + x   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{3} + 1}{x^{2} + x}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + x} = x - 1 + \frac{1}{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int -1\, dx = - x$

      1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left (x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + x} = \frac{x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{1}{x^{2} + x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{3}}{x^{2} + x} = x - 1 + \frac{1}{x + 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int -1\, dx = - x$

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 1 \right )}$

         Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left (x + 1 \right )}$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{x^{2} + x} = - \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{x + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

            1. пусть $u = x + 1$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x + 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x + 1 \right )}$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

         Результат есть: $\log{\left (x \right )} - \log{\left (x + 1 \right )}$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left (x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1               
  /               
 |                
 |   3            
 |  x  + 1        
 |  ------ dx = oo
 |   2            
 |  x  + x        
 |                
/                 
0                 

$${\it \%a}$$

Численный ответ

43.5904461339929

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                                
 |  3               2             
 | x  + 1          x              
 | ------ dx = C + -- - x + log(x)
 |  2              2              
 | x  + x                         
 |                                
/                                 

$$\log x+{{x^2-2\,x}\over{2}}$$