Интеграл (sin(x))^8 (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1           
      /           
     |            
     |     8      
     |  sin (x) dx
     |            
    /             
    0             
    $$\int_{0}^{1} \sin^{8}{\left (x \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. Перепишите подынтегральное выражение:

    3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Перепишите подынтегральное выражение:

        3. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

            2. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. пусть .

                  Тогда пусть и подставим :

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                    1. Интеграл от косинуса есть синус:

                    Таким образом, результат будет:

                  Если сейчас заменить ещё в:

                Таким образом, результат будет:

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              Результат есть:

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          Результат есть:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

          Метод #1

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл есть :

                Таким образом, результат будет:

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              Результат есть:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Метод #2

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. пусть .

                Тогда пусть и подставим :

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  1. Интеграл есть :

                  Таким образом, результат будет:

                Если сейчас заменить ещё в:

              Таким образом, результат будет:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Результат есть:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          Результат есть:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      Результат есть:

    4. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    Ответ [src]
      1                                                                                            
      /                                                                                            
     |                                              3                  5                7          
     |     8          35   35*cos(1)*sin(1)   35*sin (1)*cos(1)   7*sin (1)*cos(1)   sin (1)*cos(1)
     |  sin (x) dx = --- - ---------------- - ----------------- - ---------------- - --------------
     |               128         128                 192                 48                8       
    /                                                                                              
    0                                                                                              
    $${{3\,\sin 8+168\,\sin 4+128\,\sin ^32-768\,\sin 2+840}\over{3072}}$$
    Численный ответ [src]
    0.0370177996886868
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                                    
     |                                3                                    
     |    8             sin(2*x)   sin (2*x)   sin(8*x)   7*sin(4*x)   35*x
     | sin (x) dx = C - -------- + --------- + -------- + ---------- + ----
     |                     4           24        1024        128       128 
    /                                                                      
    $${{{{{{{{\sin \left(8\,x\right)}\over{2}}+4\,x}\over{8}}+{{\sin \left(4\,x\right)}\over{2}}+x}\over{32}}+{{3\,\left({{\sin \left(4\, x\right)}\over{2}}+2\,x\right)}\over{16}}-{{\sin \left(2\,x\right)- {{\sin ^3\left(2\,x\right)}\over{3}}}\over{4}}-{{\sin \left(2\,x \right)}\over{4}}+{{x}\over{8}}}\over{2}}$$
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: