Интеграл (sin(x))^4*(cos(x))^2 (dx)

Вы ввели

  1                   
  /                   
 |                    
 |     4       2      
 |  sin (x)*cos (x) dx
 |                    
/                     
0                     

$$\int_{0}^{1} \sin^{4}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{4}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} = \left(- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} \left(\frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}\right)$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{16} \cos^{3}{\left (u \right )} - \frac{1}{16} \cos^{2}{\left (u \right )} - \frac{1}{16} \cos{\left (u \right )} + \frac{1}{16}\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{16} \cos^{3}{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{16} \int \cos^{3}{\left (u \right )}\, du$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{3}{\left (u \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (u \right )} + 1\right) \cos{\left (u \right )}$

            2. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

               Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

               $\int - u^{2} + 1\, du$

               1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int - u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int 1\, du = u$

                  Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )} + \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{48} \sin^{3}{\left (u \right )} + \frac{1}{16} \sin{\left (u \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{16} \cos^{2}{\left (u \right )}\, du = - \frac{1}{16} \int \cos^{2}{\left (u \right )}\, du$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{2}{\left (u \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (2 u \right )} + \frac{1}{2}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2} \cos{\left (2 u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 u \right )}\, du$

                  1. пусть $u = 2 u$.

                     Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{2} \sin{\left (2 u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (2 u \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

               Результат есть: $\frac{u}{2} + \frac{1}{4} \sin{\left (2 u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{32} - \frac{1}{64} \sin{\left (2 u \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{16} \cos{\left (u \right )}\, du = - \frac{1}{16} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{16} \sin{\left (u \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{16}\, du = \frac{u}{16}$

         Результат есть: $\frac{u}{32} - \frac{1}{48} \sin^{3}{\left (u \right )} - \frac{1}{64} \sin{\left (2 u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{x}{16} - \frac{1}{48} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{64} \sin{\left (4 x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} \left(\frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8} \cos^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{8} \cos^{2}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{8} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{8}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{8} \cos^{3}{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{1}{8} \int \cos^{3}{\left (2 x \right )}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{3}{\left (2 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \cos{\left (2 x \right )}$

         2. пусть $u = \sin{\left (2 x \right )}$.

            Тогда пусть $du = 2 \cos{\left (2 x \right )} dx$ и подставим $du$:

            $\int - \frac{u^{2}}{2} + \frac{1}{2}\, du$

            1. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int - \frac{u^{2}}{2}\, du = - \frac{1}{2} \int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

               Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{48} \sin^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{16} \sin{\left (2 x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{8} \cos^{2}{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{1}{8} \int \cos^{2}{\left (2 x \right )}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left (2 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (4 x \right )}\, dx$

               1. пусть $u = 4 x$.

                  Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x}{16} - \frac{1}{64} \sin{\left (4 x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{8} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{1}{8} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{16} \sin{\left (2 x \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$

      Результат есть: $\frac{x}{16} - \frac{1}{48} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{64} \sin{\left (4 x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{16} - \frac{1}{48} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{64} \sin{\left (4 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{16} - \frac{1}{48} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{64} \sin{\left (4 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                          
  /                                                                          
 |                                               3                5          
 |     4       2         1    cos(1)*sin(1)   sin (1)*cos(1)   sin (1)*cos(1)
 |  sin (x)*cos (x) dx = -- - ------------- - -------------- + --------------
 |                       16         16              24               6       
/                                                                            
0                                                                            

$$-{{3\,\sin 4+4\,\sin ^32-12}\over{192}}$$

Численный ответ

0.0586619776419157

Ответ (Неопределённый)

  /                                                  
 |                             3                     
 |    4       2             sin (2*x)   sin(4*x)   x 
 | sin (x)*cos (x) dx = C - --------- - -------- + --
 |                              48         64      16
/                                                    

$${{{{2\,x-{{\sin \left(4\,x\right)}\over{2}}}\over{4}}-{{\sin ^3 \left(2\,x\right)}\over{6}}}\over{8}}$$

Упростить