Интеграл (sin(x))^4*(cos(x))^2 (dx)

Вы ввели

  1                   
  /                   
 |                    
 |     4       2      
 |  sin (x)*cos (x) dx
 |                    
/                     
0                     

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$:

      $\int \left(\frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{16} + \frac{1}{16}\right)\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16}\, du = \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{16}$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}$

            2. пусть $u = \sin{\left(u \right)}$.

               Тогда пусть $du = \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $du$:

               $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

               1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int 1\, du = u$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

                  Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{16}$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$

                  1. пусть $u = 2 u$.

                     Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

               Результат есть: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{16}\, du = \frac{u}{16}$

         Результат есть: $\frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$

         2. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

            Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$

            1. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$

               Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

               1. пусть $u = 4 x$.

                  Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$

      Результат есть: $\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$

         2. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

            Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$

            1. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$

               Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

               1. пусть $u = 4 x$.

                  Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$

      Результат есть: $\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}$

Ответ

                        3                5          
1    cos(1)*sin(1)   sin (1)*cos(1)   sin (1)*cos(1)
-- - ------------- - -------------- + --------------
16         16              24               6       

$$- \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{24} + \frac{\sin^{5}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{6} + \frac{1}{16}$$

=

=

                        3                5          
1    cos(1)*sin(1)   sin (1)*cos(1)   sin (1)*cos(1)
-- - ------------- - -------------- + --------------
16         16              24               6       

$$- \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{24} + \frac{\sin^{5}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{6} + \frac{1}{16}$$

Численный ответ

0.0586619776419157

Ответ (Неопределённый)

  /                                                  
 |                             3                     
 |    4       2             sin (2*x)   sin(4*x)   x 
 | sin (x)*cos (x) dx = C - --------- - -------- + --
 |                              48         64      16
/                                                    

$$\int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$$

График