Интеграл (sin(x))^4*(cos(x))^2 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                   
      /                   
     |                    
     |     4       2      
     |  sin (x)*cos (x) dx
     |                    
    /                     
    0                     
    01sin4(x)cos2(x)dx\int\limits_{0}^{1} \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      sin4(x)cos2(x)=(12cos(2x)2)2(cos(2x)2+12)\sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)

    2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=2xu = 2 x.

        Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим dudu:

        (cos3(u)16cos2(u)16cos(u)16+116)du\int \left(\frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{16} + \frac{1}{16}\right)\, du

        1. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            cos3(u)16du=cos3(u)du16\int \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16}\, du = \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{16}

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

              cos3(u)=(1sin2(u))cos(u)\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}

            2. пусть u=sin(u)u = \sin{\left(u \right)}.

              Тогда пусть du=cos(u)dudu = \cos{\left(u \right)} du и подставим dudu:

              (1u2)du\int \left(1 - u^{2}\right)\, du

              1. Интегрируем почленно:

                1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  1du=u\int 1\, du = u

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  (u2)du=u2du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

                  1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

                    u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                  Таким образом, результат будет: u33- \frac{u^{3}}{3}

                Результат есть: u33+u- \frac{u^{3}}{3} + u

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              sin3(u)3+sin(u)- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}

            Таким образом, результат будет: sin3(u)48+sin(u)16- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            (cos2(u)16)du=cos2(u)du16\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{16}

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

              cos2(u)=cos(2u)2+12\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                cos(2u)2du=cos(2u)du2\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

                1. пусть u=2uu = 2 u.

                  Тогда пусть du=2dudu = 2 du и подставим du2\frac{du}{2}:

                  cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                    cos(u)2du=cos(u)du2\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                    1. Интеграл от косинуса есть синус:

                      cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Таким образом, результат будет: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                  Если сейчас заменить uu ещё в:

                  sin(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

                Таким образом, результат будет: sin(2u)4\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                12du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

              Результат есть: u2+sin(2u)4\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

            Таким образом, результат будет: u32sin(2u)64- \frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64}

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            (cos(u)16)du=cos(u)du16\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

              cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Таким образом, результат будет: sin(u)16- \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            116du=u16\int \frac{1}{16}\, du = \frac{u}{16}

          Результат есть: u32sin(2u)64sin3(u)48\frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        x16sin3(2x)48sin(4x)64\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (12cos(2x)2)2(cos(2x)2+12)=cos3(2x)8cos2(2x)8cos(2x)8+18\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          cos3(2x)8dx=cos3(2x)dx8\int \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            cos3(2x)=(1sin2(2x))cos(2x)\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}

          2. пусть u=sin(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

            Тогда пусть du=2cos(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx и подставим dudu:

            (12u22)du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du

            1. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                12du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                (u22)du=u2du2\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

                  u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Таким образом, результат будет: u36- \frac{u^{3}}{6}

              Результат есть: u36+u2- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            sin3(2x)6+sin(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Таким образом, результат будет: sin3(2x)48+sin(2x)16- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (cos2(2x)8)dx=cos2(2x)dx8\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            cos2(2x)=cos(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              cos(4x)2dx=cos(4x)dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

              1. пусть u=4xu = 4 x.

                Тогда пусть du=4dxdu = 4 dx и подставим du4\frac{du}{4}:

                cos(u)16du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  cos(u)4du=cos(u)du4\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                    cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Таким образом, результат будет: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                sin(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

              Таким образом, результат будет: sin(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

            Результат есть: x2+sin(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

          Таким образом, результат будет: x16sin(4x)64- \frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (cos(2x)8)dx=cos(2x)dx8\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

          1. пусть u=2xu = 2 x.

            Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

            cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              cos(u)2du=cos(u)du2\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Таким образом, результат будет: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Таким образом, результат будет: sin(2x)16- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          18dx=x8\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}

        Результат есть: x16sin3(2x)48sin(4x)64\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}

      Метод #3

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (12cos(2x)2)2(cos(2x)2+12)=cos3(2x)8cos2(2x)8cos(2x)8+18\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          cos3(2x)8dx=cos3(2x)dx8\int \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            cos3(2x)=(1sin2(2x))cos(2x)\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}

          2. пусть u=sin(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

            Тогда пусть du=2cos(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx и подставим dudu:

            (12u22)du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du

            1. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                12du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                (u22)du=u2du2\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

                  u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Таким образом, результат будет: u36- \frac{u^{3}}{6}

              Результат есть: u36+u2- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            sin3(2x)6+sin(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Таким образом, результат будет: sin3(2x)48+sin(2x)16- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (cos2(2x)8)dx=cos2(2x)dx8\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            cos2(2x)=cos(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              cos(4x)2dx=cos(4x)dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

              1. пусть u=4xu = 4 x.

                Тогда пусть du=4dxdu = 4 dx и подставим du4\frac{du}{4}:

                cos(u)16du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  cos(u)4du=cos(u)du4\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                    cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Таким образом, результат будет: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                sin(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

              Таким образом, результат будет: sin(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

            Результат есть: x2+sin(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

          Таким образом, результат будет: x16sin(4x)64- \frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (cos(2x)8)dx=cos(2x)dx8\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

          1. пусть u=2xu = 2 x.

            Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

            cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              cos(u)2du=cos(u)du2\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Таким образом, результат будет: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Таким образом, результат будет: sin(2x)16- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          18dx=x8\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}

        Результат есть: x16sin3(2x)48sin(4x)64\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      x16sin3(2x)48sin(4x)64+constant\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x16sin3(2x)48sin(4x)64+constant\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.00.2
    Ответ [src]
                            3                5          
    1    cos(1)*sin(1)   sin (1)*cos(1)   sin (1)*cos(1)
    -- - ------------- - -------------- + --------------
    16         16              24               6       
    sin(1)cos(1)16sin3(1)cos(1)24+sin5(1)cos(1)6+116- \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{24} + \frac{\sin^{5}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{6} + \frac{1}{16}
    =
    =
                            3                5          
    1    cos(1)*sin(1)   sin (1)*cos(1)   sin (1)*cos(1)
    -- - ------------- - -------------- + --------------
    16         16              24               6       
    sin(1)cos(1)16sin3(1)cos(1)24+sin5(1)cos(1)6+116- \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{24} + \frac{\sin^{5}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{6} + \frac{1}{16}
    Численный ответ [src]
    0.0586619776419157
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                  
     |                             3                     
     |    4       2             sin (2*x)   sin(4*x)   x 
     | sin (x)*cos (x) dx = C - --------- - -------- + --
     |                              48         64      16
    /                                                    
    sin4(x)cos2(x)dx=C+x16sin3(2x)48sin(4x)64\int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}
    График
    Интеграл (sin(x))^4*(cos(x))^2 (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/2/85/84eb0aec92b04781d1d1f7b347d6d.png