Интеграл x^5/(1-x^2)^(1/2) (dx)

  1               
  /               
 |                
 |        5       
 |       x        
 |  ----------- dx
 |     ________   
 |    /      2    
 |  \/  1 - x     
 |                
/                 
0                 

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{5}}{\sqrt{- x^{2} + 1}} = \frac{x^{5}}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$

   TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sin(_theta)**5, substep=RewriteRule(rewritten=(-cos(_theta)**2 + 1)**2*sin(_theta), substep=RewriteRule(rewritten=sin(_theta)*cos(_theta)**4 - 2*sin(_theta)*cos(_theta)**2 + sin(_theta), substep=AddRule(substeps=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**4, substep=PowerRule(base=_u, exp=4, context=_u**4, symbol=_u), context=_u**4, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**4, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-2, other=sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=_u**2, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=-2*sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), TrigRule(func='sin', arg=_theta, context=sin(_theta), symbol=_theta)], context=sin(_theta)*cos(_theta)**4 - 2*sin(_theta)*cos(_theta)**2 + sin(_theta), symbol=_theta), context=(-cos(_theta)**2 + 1)**2*sin(_theta), symbol=_theta), context=sin(_theta)**5, symbol=_theta), restriction=And(x < 1, x > -1), context=x**5/sqrt(-x**2 + 1), symbol=x)

2. Теперь упростить:

   $\begin{cases} - \frac{1}{15} \sqrt{- x^{2} + 1} \left(3 x^{4} + 4 x^{2} + 8\right) & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} - \frac{1}{15} \sqrt{- x^{2} + 1} \left(3 x^{4} + 4 x^{2} + 8\right) & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\begin{cases} - \frac{1}{15} \sqrt{- x^{2} + 1} \left(3 x^{4} + 4 x^{2} + 8\right) & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

  1                      
  /                      
 |                       
 |        5              
 |       x               
 |  ----------- dx = 8/15
 |     ________          
 |    /      2           
 |  \/  1 - x            
 |                       
/                        
0                        

  /                                                                                           
 |                                                                                            
 |       5              //                        5/2             3/2                        \
 |      x               ||     ________   /     2\        /     2\                           |
 | ----------- dx = C + |<    /      2    \1 - x /      2*\1 - x /                           |
 |    ________          ||- \/  1 - x   - ----------- + -------------  for And(x > -1, x < 1)|
 |   /      2           \\                     5              3                              /
 | \/  1 - x                                                                                  
 |                                                                                            
/