Интеграл x/(x^2+4)^2 (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |      x       
 |  --------- dx
 |          2   
 |  / 2    \    
 |  \x  + 4/    
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} = \frac{x}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}}$

   2. пусть $u = x^{2} + 4$.

      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2 u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{2 x^{2} + 8}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} = \frac{x}{x^{4} + 8 x^{2} + 16}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{x^{4} + 8 x^{2} + 16} = \frac{x}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}}$

   3. пусть $u = x^{2} + 4$.

      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2 u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{2 x^{2} + 8}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{2 x^{2} + 8}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{2 x^{2} + 8}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{2 x^{2} + 8}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                     
 |      x              
 |  --------- dx = 1/40
 |          2          
 |  / 2    \           
 |  \x  + 4/           
 |                     
/                      
0                      

$${{1}\over{40}}$$

Численный ответ

0.025

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                              
 |     x                  1     
 | --------- dx = C - ----------
 |         2            /     2\
 | / 2    \           2*\4 + x /
 | \x  + 4/                     
 |                              
/                               

$$-{{1}\over{2\,\left(x^2+4\right)}}$$