Интеграл x/(x^2+4)^2 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1             
      /             
     |              
     |      x       
     |  --------- dx
     |          2   
     |  / 2    \    
     |  \x  + 4/    
     |              
    /               
    0               
    01x(x2+4)2dx\int_{0}^{1} \frac{x}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        x(x2+4)2=x(x2+4)2\frac{x}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} = \frac{x}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}}

      2. пусть u=x2+4u = x^{2} + 4.

        Тогда пусть du=2xdxdu = 2 x dx и подставим du2\frac{du}{2}:

        1u2du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1u2du=121u2du\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

            1u2du=1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Таким образом, результат будет: 12u- \frac{1}{2 u}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        12x2+8- \frac{1}{2 x^{2} + 8}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        x(x2+4)2=xx4+8x2+16\frac{x}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} = \frac{x}{x^{4} + 8 x^{2} + 16}

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

        xx4+8x2+16=x(x2+4)2\frac{x}{x^{4} + 8 x^{2} + 16} = \frac{x}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}}

      3. пусть u=x2+4u = x^{2} + 4.

        Тогда пусть du=2xdxdu = 2 x dx и подставим du2\frac{du}{2}:

        1u2du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1u2du=121u2du\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

            1u2du=1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Таким образом, результат будет: 12u- \frac{1}{2 u}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        12x2+8- \frac{1}{2 x^{2} + 8}

    2. Теперь упростить:

      12x2+8- \frac{1}{2 x^{2} + 8}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      12x2+8+constant- \frac{1}{2 x^{2} + 8}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    12x2+8+constant- \frac{1}{2 x^{2} + 8}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-10100.2-0.2
    Ответ [src]
      1                    
      /                    
     |                     
     |      x              
     |  --------- dx = 1/40
     |          2          
     |  / 2    \           
     |  \x  + 4/           
     |                     
    /                      
    0                      
    140{{1}\over{40}}
    Численный ответ [src]
    0.025
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                             
     |                              
     |     x                  1     
     | --------- dx = C - ----------
     |         2            /     2\
     | / 2    \           2*\4 + x /
     | \x  + 4/                     
     |                              
    /                               
    12(x2+4)-{{1}\over{2\,\left(x^2+4\right)}}