Интеграл 1/(1-x)^(1/2) (dx)

  1             
  /             
 |              
 |      1       
 |  --------- dx
 |    _______   
 |  \/ 1 - x    
 |              
/               
0               

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sqrt{- x + 1}$.

      Тогда пусть $du = - \frac{dx}{2 \sqrt{- x + 1}}$ и подставим $- 2 du$:

      $\int 1\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1\, du = - 2 \int 1\, du$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $- 2 u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- 2 \sqrt{- x + 1}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\sqrt{- x + 1}} = \frac{1}{\sqrt{- x + 1}}$

   2. пусть $u = - x + 1$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

         Таким образом, результат будет: $- 2 \sqrt{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- 2 \sqrt{- x + 1}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- 2 \sqrt{- x + 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- 2 \sqrt{- x + 1}+ \mathrm{constant}$

  1                 
  /                 
 |                  
 |      1           
 |  --------- dx = 2
 |    _______       
 |  \/ 1 - x        
 |                  
/                   
0                   

1.99999999946952

  /                              
 |                               
 |     1                  _______
 | --------- dx = C - 2*\/ 1 - x 
 |   _______                     
 | \/ 1 - x                      
 |                               
/