Интеграл 3*x^2/(x^3+1) (dx)

  1          
  /          
 |           
 |      2    
 |   3*x     
 |  ------ dx
 |   3       
 |  x  + 1   
 |           
/            
0            

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x^{3} + 1$.

      Тогда пусть $du = 3 x^{2} dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left (x^{3} + 1 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} = \frac{2 x - 1}{x^{2} - x + 1} + \frac{1}{x + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = x^{2} - x + 1$.

         Тогда пусть $du = \left(2 x - 1\right) dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x^{2} - x + 1 \right )}$

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 1 \right )}$

      Результат есть: $\log{\left (x + 1 \right )} + \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\log{\left (x^{3} + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left (x^{3} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\log{\left (x^{3} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

  1                   
  /                   
 |                    
 |      2             
 |   3*x              
 |  ------ dx = log(2)
 |   3                
 |  x  + 1            
 |                    
/                     
0                     

0.693147180559945

  /                           
 |                            
 |     2                      
 |  3*x               / 3    \
 | ------ dx = C + log\x  + 1/
 |  3                         
 | x  + 1                     
 |                            
/