Интеграл 3*x^2/(x^3+1) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1          
      /          
     |           
     |      2    
     |   3*x     
     |  ------ dx
     |   3       
     |  x  + 1   
     |           
    /            
    0            
    013x2x3+1dx\int_{0}^{1} \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=x3+1u = x^{3} + 1.

        Тогда пусть du=3x2dxdu = 3 x^{2} dx и подставим dudu:

        1udu\int \frac{1}{u}\, du

        1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        log(x3+1)\log{\left (x^{3} + 1 \right )}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        3x2x3+1=2x1x2x+1+1x+1\frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} = \frac{2 x - 1}{x^{2} - x + 1} + \frac{1}{x + 1}

      2. Интегрируем почленно:

        1. пусть u=x2x+1u = x^{2} - x + 1.

          Тогда пусть du=(2x1)dxdu = \left(2 x - 1\right) dx и подставим dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          log(x2x+1)\log{\left (x^{2} - x + 1 \right )}

        1. пусть u=x+1u = x + 1.

          Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          log(x+1)\log{\left (x + 1 \right )}

        Результат есть: log(x+1)+log(x2x+1)\log{\left (x + 1 \right )} + \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )}

    2. Теперь упростить:

      log(x3+1)\log{\left (x^{3} + 1 \right )}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      log(x3+1)+constant\log{\left (x^{3} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    log(x3+1)+constant\log{\left (x^{3} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-2020
    Ответ [src]
      1                   
      /                   
     |                    
     |      2             
     |   3*x              
     |  ------ dx = log(2)
     |   3                
     |  x  + 1            
     |                    
    /                     
    0                     
    log2\log 2
    Численный ответ [src]
    0.693147180559945
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                           
     |                            
     |     2                      
     |  3*x               / 3    \
     | ------ dx = C + log\x  + 1/
     |  3                         
     | x  + 1                     
     |                            
    /                             
    log(x3+1)\log \left(x^3+1\right)