Интеграл x*e^-x (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1         
      /         
     |          
     |     -x   
     |  x*E   dx
     |          
    /           
    0           
    $$\int_{0}^{1} e^{- x} x\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Используем интегрирование по частям:

          пусть и пусть dx.

          Затем dx.

          Чтобы найти :

          1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

          Теперь решаем под-интеграл.

        2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

        Если сейчас заменить ещё в:

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Используем интегрирование по частям:

          пусть и пусть dx.

          Затем dx.

          Чтобы найти :

          1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

          Теперь решаем под-интеграл.

        2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

        Если сейчас заменить ещё в:

    2. Теперь упростить:

    3. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                     
      /                     
     |                      
     |     -x             -1
     |  x*E   dx = 1 - 2*e  
     |                      
    /                       
    0                       
    $${{1}\over{\left(\log E\right)^2}}-{{\log E+1}\over{E\,\left(\log E \right)^2}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.264241117657115
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                          
     |                           
     |    -x           -x      -x
     | x*E   dx = C - e   - x*e  
     |                           
    /                            
    $$-{{\left(\log E\,x+1\right)\,e^ {- \log E\,x }}\over{\left(\log E \right)^2}}$$