Интеграл x/((x^2-4)^(1/2)) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1               
      /               
     |                
     |       x        
     |  ----------- dx
     |     ________   
     |    /  2        
     |  \/  x  - 4    
     |                
    /                 
    0                 
    01xx24dx\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=x24u = \sqrt{x^{2} - 4}.

        Тогда пусть du=xdxx24du = \frac{x dx}{\sqrt{x^{2} - 4}} и подставим dudu:

        1du\int 1\, du

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1du=u\int 1\, du = u

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        x24\sqrt{x^{2} - 4}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        xx24=xx24\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}

      2. пусть u=x24u = x^{2} - 4.

        Тогда пусть du=2xdxdu = 2 x dx и подставим du2\frac{du}{2}:

        1udu\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1udu=121udu\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

            1udu=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

          Таким образом, результат будет: u\sqrt{u}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        x24\sqrt{x^{2} - 4}

    2. Теперь упростить:

      x24\sqrt{x^{2} - 4}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      x24+constant\sqrt{x^{2} - 4}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x24+constant\sqrt{x^{2} - 4}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-101020-10
    Ответ [src]
      1                                
      /                                
     |                                 
     |       x                      ___
     |  ----------- dx = -2*I + I*\/ 3 
     |     ________                    
     |    /  2                         
     |  \/  x  - 4                     
     |                                 
    /                                  
    0                                  
    01xx24dx=2i+3i\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}\, dx = - 2 i + \sqrt{3} i
    Численный ответ [src]
    (0.0 - 0.267949192431123j)
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                
     |                         ________
     |      x                 /  2     
     | ----------- dx = C + \/  x  - 4 
     |    ________                     
     |   /  2                          
     | \/  x  - 4                      
     |                                 
    /                                  
    x24\sqrt{x^2-4}