Интеграл cos(2*x)^(3)*sin(2*x) (dx)

Вы ввели

  1                      
  /                      
 |                       
 |     3                 
 |  cos (2*x)*sin(2*x) dx
 |                       
/                        
0                        

$$\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(2 x \right)} \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \cos{\left (2 x \right )}$.

      Тогда пусть $du = - 2 \sin{\left (2 x \right )} dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int u^{3}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{3}\, du = - \frac{1}{2} \int u^{3}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{4}}{8}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{8} \cos^{4}{\left (2 x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin{\left (2 x \right )} \cos^{3}{\left (2 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \sin{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )}$

   2. пусть $u = \sin^{2}{\left (2 x \right )}$.

      Тогда пусть $du = 4 \sin{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )} dx$ и подставим $du$:

      $\int - \frac{u}{4} + \frac{1}{4}\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{u}{4}\, du = - \frac{1}{4} \int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{8}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

         Результат есть: $- \frac{u^{2}}{8} + \frac{u}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{8} \sin^{4}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{4} \sin^{2}{\left (2 x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{8} \cos^{4}{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{8} \cos^{4}{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

       4   
1   cos (2)
- - -------
8      8   

$$\frac{1}{8} - \frac{\cos^{4}{\left(2 \right)}}{8}$$

=

=

       4   
1   cos (2)
- - -------
8      8   

$$\frac{1}{8} - \frac{\cos^{4}{\left(2 \right)}}{8}$$

Численный ответ

0.121251164332235

Ответ (Неопределённый)

  /                                     
 |                                4     
 |    3                        cos (2*x)
 | cos (2*x)*sin(2*x) dx = C - ---------
 |                                 8    
/                                       

$$-{{\cos ^4\left(2\,x\right)}\over{8}}$$

График