Интеграл log(x)*e^(2*x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1               
      /               
     |                
     |          2*x   
     |  log(x)*E    dx
     |                
    /                 
    0                 
    01e2xlog(x)dx\int_{0}^{1} e^{2 x} \log{\left (x \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      e2xlog(x)=e2xlog(x)e^{2 x} \log{\left (x \right )} = e^{2 x} \log{\left (x \right )}

    2. Используем интегрирование по частям:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=log(x)u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )} и пусть dv(x)=e2x\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{2 x} dx.

      Затем du(x)=1x\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x} dx.

      Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

      1. пусть u=2xu = 2 x.

        Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

        eudu\int e^{u}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          eudu=12eudu\int e^{u}\, du = \frac{1}{2} \int e^{u}\, du

          1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Таким образом, результат будет: eu2\frac{e^{u}}{2}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

      Теперь решаем под-интеграл.

    3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      e2x2xdx=12e2xxdx\int \frac{e^{2 x}}{2 x}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{e^{2 x}}{x}\, dx

      1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

        Но интеграл

        Ei(2x)\operatorname{Ei}{\left (2 x \right )}

      Таким образом, результат будет: 12Ei(2x)\frac{1}{2} \operatorname{Ei}{\left (2 x \right )}

    4. Добавляем постоянную интегрирования:

      e2x2log(x)12Ei(2x)+constant\frac{e^{2 x}}{2} \log{\left (x \right )} - \frac{1}{2} \operatorname{Ei}{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    e2x2log(x)12Ei(2x)+constant\frac{e^{2 x}}{2} \log{\left (x \right )} - \frac{1}{2} \operatorname{Ei}{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-10102000000000-1000000000
    Ответ [src]
      1                                             
      /                                             
     |                                              
     |          2*x      EulerGamma   log(2)   Ei(2)
     |  log(x)*E    dx = ---------- + ------ - -----
     |                       2          2        2  
    /                                               
    0                                               
    01E2xlogx  dx\int_{0}^{1}{E^{2\,x}\,\log x\;dx}
    Численный ответ [src]
    -1.84193575527021
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                          
     |                                 2*x       
     |         2*x          Ei(2*x)   e   *log(x)
     | log(x)*E    dx = C - ------- + -----------
     |                         2           2     
    /                                            
    E2xlogx2logE+Γ(0,2logEx)2logE{{E^{2\,x}\,\log x}\over{2\,\log E}}+{{\Gamma\left(0 , -2\,\log E\, x\right)}\over{2\,\log E}}