Интеграл log(x)*e^(2*x) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |          2*x   
 |  log(x)*E    dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} e^{2 x} \log{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $e^{2 x} \log{\left (x \right )} = e^{2 x} \log{\left (x \right )}$

2. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{2 x}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u}\, du = \frac{1}{2} \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{e^{2 x}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{e^{2 x}}{2 x}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{e^{2 x}}{x}\, dx$

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $\operatorname{Ei}{\left (2 x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \operatorname{Ei}{\left (2 x \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{e^{2 x}}{2} \log{\left (x \right )} - \frac{1}{2} \operatorname{Ei}{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{e^{2 x}}{2} \log{\left (x \right )} - \frac{1}{2} \operatorname{Ei}{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                             
  /                                             
 |                                              
 |          2*x      EulerGamma   log(2)   Ei(2)
 |  log(x)*E    dx = ---------- + ------ - -----
 |                       2          2        2  
/                                               
0                                               

$$\int_{0}^{1}{E^{2\,x}\,\log x\;dx}$$

Численный ответ

-1.84193575527021

Ответ (Неопределённый)

  /                                          
 |                                 2*x       
 |         2*x          Ei(2*x)   e   *log(x)
 | log(x)*E    dx = C - ------- + -----------
 |                         2           2     
/                                            

$${{E^{2\,x}\,\log x}\over{2\,\log E}}+{{\Gamma\left(0 , -2\,\log E\, x\right)}\over{2\,\log E}}$$