Интеграл dx/(x^2+a^2) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1           
      /           
     |            
     |     1      
     |  ------- dx
     |   2    2   
     |  x  + a    
     |            
    /             
    0             
    $$\int_{0}^{1} \frac{1}{a^{2} + x^{2}}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Thесть integral must be done piecewестьe.

        For the interval where :

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл есть .

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Таким образом, результат будет:

    2. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    Ответ
    [LaTeX]
      1                                                                        
      /              I*log(1 + I*a)   I*log(1 - I*a)   I*log(I*a)   I*log(-I*a)
     |               -------------- - --------------   ---------- - -----------
     |     1               2                2              2             2     
     |  ------- dx = ------------------------------- - ------------------------
     |   2    2                     a                             a            
     |  x  + a                                                                 
     |                                                                         
    /                                                                          
    0                                                                          
    $${{\arctan \left({{1}\over{a}}\right)}\over{a}}$$
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
                        //   ____     /       ____\            \
      /                 ||  /  2      |      / 1  |            |
     |                  ||\/  a  *atan|x*   /  -- |            |
     |    1             ||            |    /    2 |            |
     | ------- dx = C + |<            \  \/    a  /       2    |
     |  2    2          ||-------------------------  for a  > 0|
     | x  + a           ||             2                       |
     |                  ||            a                        |
    /                   \\                                     /
    $${{\arctan \left({{x}\over{a}}\right)}\over{a}}$$