4*(1/16)^x-17*(1/4)^x+4<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 4*(1/16)^x-17*(1/4)^x+4<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

    -x       -x        
4*16   - 17*4   + 4 < 0

$$4 - 17 \left(\frac{1}{4}\right)^{x} + 4 \left(\frac{1}{16}\right)^{x} < 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$4 - 17 \left(\frac{1}{4}\right)^{x} + 4 \left(\frac{1}{16}\right)^{x} < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$4 - 17 \left(\frac{1}{4}\right)^{x} + 4 \left(\frac{1}{16}\right)^{x} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$4 - 17 \left(\frac{1}{4}\right)^{x} + 4 \left(\frac{1}{16}\right)^{x} = 0$$
или
$$\left(4 - 17 \left(\frac{1}{4}\right)^{x} + 4 \left(\frac{1}{16}\right)^{x}\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{16}\right)^{x}$$
получим
$$4 - 17 \cdot 4^{- x} + 4 \cdot 16^{- x} = 0$$
или
$$4 - 17 \cdot 4^{- x} + 4 \cdot 16^{- x} = 0$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{16}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(16 \right)}}$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = -1 + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{4} = 1 + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Данные корни
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$4 - 17 \left(\frac{1}{4}\right)^{x} + 4 \left(\frac{1}{16}\right)^{x} < 0$$
$$- 17 \frac{1}{(\frac{1}{4})^{11/10}} + 4 + 4 \frac{1}{(\frac{1}{16})^{11/10}} < 0$$

       5 ___       2/5    
4 - 68*\/ 2  + 64*2    < 0
    

но

       5 ___       2/5    
4 - 68*\/ 2  + 64*2    > 0
    

Тогда
$$x < -1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -1 \wedge x < 1$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ 2

(-1, 1)

$$x\ in\ \left(-1, 1\right)$$

Быстрый ответ

And(-1 < x, x < 1)

$$-1 < x \wedge x < 1$$

График