Решение неравенств/ 4*x^4-8*x^2-1>0

4*x^4-8*x^2-1>0 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 4*x^4-8*x^2-1>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
       4      2        
4*x  - 8*x  - 1 > 0
    $$4 x^{4} - 8 x^{2} - 1 > 0$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$4 x^{4} - 8 x^{2} - 1 > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$4 x^{4} - 8 x^{2} - 1 = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$4 x^{4} - 8 x^{2} - 1 = 0$$
    Сделаем замену
    $$v = x^{2}$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$4 v^{2} - 8 v - 1 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*v^2 + b*v + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 4$$
    $$b = -8$$
    $$c = -1$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-8)^2 - 4 * (4) * (-1) = 80

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$v_{1} = 1 + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
    $$v_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + 1$$
    Получаем окончательный ответ:
    Т.к.
    $$v = x^{2}$$
    то
    $$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
    $$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
    $$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
    $$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
    тогда:
    $$x_{1} = 1 + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + 1$$
    $$x_{1} = 1 + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + 1$$
    Данные корни
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + 1$$
    $$x_{1} = 1 + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
          ___     
    \/ 5    1 
1 - ----- - --
      2     10

    =
    $$- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{9}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$4 x^{4} - 8 x^{2} - 1 > 0$$
                      4                     2        
  /      ___     \      /      ___     \         
  |    \/ 5    1 |      |    \/ 5    1 |         
4*|1 - ----- - --|  - 8*|1 - ----- - --|  - 1 > 0
  \      2     10/      \      2     10/         

                       2                 4    
       /       ___\      /       ___\     
       |9    \/ 5 |      |9    \/ 5 |  > 0
-1 - 8*|-- - -----|  + 4*|-- - -----|     
       \10     2  /      \10     2  /

    Тогда
    $$x < - \frac{\sqrt{5}}{2} + 1$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > - \frac{\sqrt{5}}{2} + 1 \wedge x < 1 + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
             _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ [src]
      /   /                    /        2      4   \\     /               /        2      4   \    \\
Or\And\-oo < x, x < CRootOf\-1 - 8*x  + 4*x , 0//, And\x < oo, CRootOf\-1 - 8*x  + 4*x , 1/ < x//
    $$\left(-\infty < x \wedge x < \operatorname{CRootOf} {\left(4 x^{4} - 8 x^{2} - 1, 0\right)}\right) \vee \left(x < \infty \wedge \operatorname{CRootOf} {\left(4 x^{4} - 8 x^{2} - 1, 1\right)} < x\right)$$
    Быстрый ответ 2 [src]
                 /        2      4   \            /        2      4   \     
(-oo, CRootOf\-1 - 8*x  + 4*x , 0/) U (CRootOf\-1 - 8*x  + 4*x , 1/, oo)
    $$x \in \left(-\infty, \operatorname{CRootOf} {\left(4 x^{4} - 8 x^{2} - 1, 0\right)}\right) \cup \left(\operatorname{CRootOf} {\left(4 x^{4} - 8 x^{2} - 1, 1\right)}, \infty\right)$$