4^x+2^x-20>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 4^x+2^x-20>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x    x         
4  + 2  - 20 > 0

$$2^{x} + 4^{x} - 20 > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2^{x} + 4^{x} - 20 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2^{x} + 4^{x} - 20 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$2^{x} + 4^{x} - 20 = 0$$
или
$$\left(2^{x} + 4^{x} - 20\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$v^{2} + v - 20 = 0$$
или
$$v^{2} + v - 20 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -20$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (-20) = 81

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 4$$
Упростить
$$v_{2} = -5$$
Упростить
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 4$$
Данные корни
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-5 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{51}{10}$$
подставляем в выражение
$$2^{x} + 4^{x} - 20 > 0$$
$$\left(-1\right) 20 + \frac{1}{4^{\frac{51}{10}}} + \frac{1}{2^{\frac{51}{10}}} > 0$$

       9/10    4/5    
      2       2       
-20 + ----- + ---- > 0
        64    2048    
    

Тогда
$$x < -5$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -5 \wedge x < 4$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x_1      x_2

Быстрый ответ

2 < x

$$2 < x$$

Быстрый ответ 2

(2, oo)

$$x\ in\ \left(2, \infty\right)$$

График