4^x+2^(x+1)-80<0 (неравенство)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Укажите решение неравенства: 4^x+2^(x+1)-80<0 (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
$$2^{x + 1} + 4^{x} - 80 < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2^{x + 1} + 4^{x} - 80 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$2^{x + 1} + 4^{x} - 80 = 0$$
или
$$\left(2^{x + 1} + 4^{x} - 80\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$v^{2} + 2 v - 80 = 0$$
или
$$v^{2} + 2 v - 80 = 0$$
Это уравнение вида
a*v^2 + b*v + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = -80$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(2)^2 - 4 * (1) * (-80) = 324
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$v_{1} = 8$$
Упростить
$$v_{2} = -10$$
Упростить
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = -10$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = -10$$
Данные корни
$$x_{2} = -10$$
$$x_{1} = 8$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-10 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{101}{10}$$
подставляем в выражение
$$2^{x + 1} + 4^{x} - 80 < 0$$
$$\left(-1\right) 80 + \frac{1}{4^{\frac{101}{10}}} + 2^{- \frac{101}{10} + 1} < 0$$
9/10 4/5
2 2
-80 + ----- + ------- < 0
1024 2097152
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -10$$
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x2 x1Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -10$$
$$x > 8$$
Решение неравенства на графике