(2-x)*(x+1)>1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (2-x)*(x+1)>1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

(2 - x)*(x + 1) > 1

$$\left(- x + 2\right) \left(x + 1\right) > 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(- x + 2\right) \left(x + 1\right) > 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(- x + 2\right) \left(x + 1\right) = 1$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$\left(- x + 2\right) \left(x + 1\right) = 1$$
в
$$\left(- x + 2\right) \left(x + 1\right) - 1 = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(- x + 2\right) \left(x + 1\right) - 1 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$- x^{2} + x + 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 1$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (-1) * (1) = 5

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

      ___     
1   \/ 5    1 
- - ----- - --
2     2     10

=
$$- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{2}{5}$$
подставляем в выражение
$$\left(- x + 2\right) \left(x + 1\right) > 1$$

/          ___     \ /      ___         \    
|    1   \/ 5    1 | |1   \/ 5    1     |    
|2 - - - ----- - --|*|- - ----- - -- + 1| > 1
\    2     2     10/ \2     2     10    /    

/      ___\ /      ___\    
|7   \/ 5 | |8   \/ 5 |    
|- - -----|*|- + -----| > 1
\5     2  / \5     2  /    
    

Тогда
$$x < - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \wedge x < \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

   /          ___        ___    \
   |    1   \/ 5   1   \/ 5     |
And|x < - + -----, - - ----- < x|
   \    2     2    2     2      /

$$x < \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \wedge - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} < x$$

Быстрый ответ 2

       ___        ___ 
 1   \/ 5   1   \/ 5  
(- - -----, - + -----)
 2     2    2     2   

$$x \in \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right)$$

График