2*sqrt(2)*2^(x-3)>=1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2*sqrt(2)*2^(x-3)>=1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

    ___  x - 3       
2*\/ 2 *2      >= 1/2

$$2 \sqrt{2} \cdot 2^{x - 3} \geq \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2 \sqrt{2} \cdot 2^{x - 3} \geq \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \sqrt{2} \cdot 2^{x - 3} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$2 \sqrt{2} \cdot 2^{x - 3} = \frac{1}{2}$$
или
$$2 \sqrt{2} \cdot 2^{x - 3} - \frac{1}{2} = 0$$
или
$$\frac{\sqrt{2} \cdot 2^{x}}{4} = \frac{1}{2}$$
или
$$2^{x} = \sqrt{2}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$v - \sqrt{2} = 0$$
или
$$v - \sqrt{2} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

v - sqrt2 = 0

Разделим обе части ур-ния на (v - sqrt(2))/v

v = 0 / ((v - sqrt(2))/v)

делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = \sqrt{2}$$
$$x_{1} = \sqrt{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \sqrt{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \sqrt{2}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \sqrt{2}$$
подставляем в выражение
$$2 \sqrt{2} \cdot 2^{x - 3} \geq \frac{1}{2}$$
$$2 \sqrt{2} \cdot 2^{\left(-1\right) 3 - \left(\frac{1}{10} - \sqrt{2}\right)} \geq \frac{1}{2}$$

           31     ___       
         - -- + \/ 2        
    ___    10         >= 1/2
2*\/ 2 *2                   
       

значит решение неравенства будет при:
$$x \leq \sqrt{2}$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x_1

Быстрый ответ

   /       /  ___\             \
   |       |\/ 2 |             |
   |    log|-----|             |
   |       \  8  /             |
And|3 + ---------- <= x, x < oo|
   \      log(2)               /

$$\frac{\log{\left(\frac{\sqrt{2}}{8} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + 3 \leq x \wedge x < \infty$$

Быстрый ответ 2

        /  ___\     
        |\/ 2 |     
     log|-----|     
        \  8  /     
[3 + ----------, oo)
       log(2)       

$$x\ in\ \left[\frac{\log{\left(\frac{\sqrt{2}}{8} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + 3, \infty\right)$$

График