cos(5*x)<1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(5*x)<1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(5*x) < 1/2

$$\cos{\left(5 x \right)} < \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left(5 x \right)} < \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left(5 x \right)} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(5 x \right)} = \frac{1}{2}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$5 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$5 x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Или
$$5 x = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$5 x = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$5$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{15}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{15}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{15}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{15}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{5} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{15}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(5 x \right)} < \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left(5 \left(\frac{\pi n}{5} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{15}\right) \right)} < \frac{1}{2}$$

    n    /1   pi\      
(-1) *sin|- + --| < 1/2
         \2   6 /      

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{15}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{15}$$
$$x > \frac{\pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}$$

Быстрый ответ

   /pi          pi\
And|-- < x, x < --|
   \15          3 /

$$\frac{\pi}{15} < x \wedge x < \frac{\pi}{3}$$

Быстрый ответ 2

 pi  pi 
(--, --)
 15  3  

$$x\ in\ \left(\frac{\pi}{15}, \frac{\pi}{3}\right)$$

График