sin(2*x-pi/3)<1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(2*x-pi/3)<1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   /      pi\      
sin|2*x - --| < 1/2
   \      3 /      

$$\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)} < \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)} < \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)} = \frac{1}{2}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

Разделим обе части ур-ния на -1

Ур-ние превратится в
$$\cos{\left(2 x + \frac{\pi}{6} \right)} = - \frac{1}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x + \frac{\pi}{6} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$2 x + \frac{\pi}{6} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
Или
$$2 x + \frac{\pi}{6} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$2 x + \frac{\pi}{6} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
, где n - любое целое число
Перенесём
$$\frac{\pi}{6}$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$2 x = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$2 x = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)} < \frac{1}{2}$$
$$\sin{\left(2 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{\pi}{3} \right)} < \frac{1}{2}$$

    n    /1   pi\      
(-1) *cos|- + --| < 1/2
         \5   3 /      

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4}$$
$$x > \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{4}$$

Быстрый ответ

  /   /           /                                                               /       _____________________________________________________________________________________________________________________________\\     \       \
  |   |           |  /         /                 /              -pi*I \   \\      |      /         /              -pi*I \        /              -pi*I \        /              -pi*I \           /              -pi*I \ ||     |       |
  |   |           |  |         |                 |   _________  ------|   ||      |     /          |   _________  ------|        |   _________  ------|        |   _________  ------|           |   _________  ------| ||     |       |
  |   |           |  |         |           ___   |  /  3 ____     3   |   ||      |    /           |  /  3 ____     3   |       2|  /  3 ____     3   |       2|  /  3 ____     3   |     ___   |  /  3 ____     3   | ||     |       |
  |   |           |  |         |   1 + 2*\/ 3 *im\\/  -\/ -1  *e      /   ||      |   /    1   3*re\\/  -\/ -1  *e      /   3*im \\/  -\/ -1  *e      /   3*re \\/  -\/ -1  *e      /   \/ 3 *im\\/  -\/ -1  *e      / ||     |       |
  |   |        -I*|I*|pi + atan|------------------------------------------|| + log|  /     - - -------------------------- + --------------------------- + --------------------------- + ------------------------------ ||     |       |
  |   |           |  |         |                    /              -pi*I \||      \\/      4               4                             4                             4                              4                /|     |       |
  |   |           |  |         |                    |   _________  ------|||                                                                                                                                            |     |       |
  |   |           |  |         |    ___       ___   |  /  3 ____     3   |||                                                                                                                                            |     |       |
  |   |           \  \         \- \/ 3  + 2*\/ 3 *re\\/  -\/ -1  *e      ///                                                                                                                                            /     |       |
Or|And|x < pi, ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- < x|, x = 0|
  \   \                                                                                                             2                                                                                                         /       /

$$\left(x < \pi \wedge - \frac{i \left(\log{\left(\sqrt{\frac{\sqrt{3} \operatorname{im}{\left(\sqrt{- \sqrt[3]{-1}} e^{- \frac{i \pi}{3}}\right)}}{4} + \frac{3 \left(\operatorname{re}{\left(\sqrt{- \sqrt[3]{-1}} e^{- \frac{i \pi}{3}}\right)}\right)^{2}}{4} + \frac{1}{4} - \frac{3 \operatorname{re}{\left(\sqrt{- \sqrt[3]{-1}} e^{- \frac{i \pi}{3}}\right)}}{4} + \frac{3 \left(\operatorname{im}{\left(\sqrt{- \sqrt[3]{-1}} e^{- \frac{i \pi}{3}}\right)}\right)^{2}}{4}} \right)} + i \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \operatorname{im}{\left(\sqrt{- \sqrt[3]{-1}} e^{- \frac{i \pi}{3}}\right)} + 1}{- \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \operatorname{re}{\left(\sqrt{- \sqrt[3]{-1}} e^{- \frac{i \pi}{3}}\right)}} \right)} + \pi\right)\right)}{2} < x\right) \vee x = 0$$

Быстрый ответ 2

      pi     7*pi     
(-oo, --) U (----, oo)
      4       12      

$$x \in \left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{7 \pi}{12}, \infty\right)$$

График