sqrt(2)*cos(2*x)<=1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sqrt(2)*cos(2*x)<=1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

  ___              
\/ 2 *cos(2*x) <= 1

$$\sqrt{2} \cos{\left(2 x \right)} \leq 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sqrt{2} \cos{\left(2 x \right)} \leq 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sqrt{2} \cos{\left(2 x \right)} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sqrt{2} \cos{\left(2 x \right)} = 1$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

Разделим обе части ур-ния на sqrt(2)

Ур-ние превратится в
$$\cos{\left(2 x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$2 x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
Или
$$2 x = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$2 x = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{3 \pi}{8}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{3 \pi}{8}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{3 \pi}{8}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}$$
подставляем в выражение
$$\sqrt{2} \cos{\left(2 x \right)} \leq 1$$
$$\sqrt{2} \cos{\left(2 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}\right) \right)} \leq 1$$

    n   ___    /1   pi\     
(-1) *\/ 2 *sin|- + --| <= 1
               \5   4 /     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$
$$x \geq \frac{\pi n}{2} - \frac{3 \pi}{8}$$

Быстрый ответ

   /pi            7*pi\
And|-- <= x, x <= ----|
   \8              8  /

$$\frac{\pi}{8} \leq x \wedge x \leq \frac{7 \pi}{8}$$

Быстрый ответ 2

 pi  7*pi 
[--, ----]
 8    8   

$$x\ in\ \left[\frac{\pi}{8}, \frac{7 \pi}{8}\right]$$

График