sqrt(x-b)>=2*x (неравенство)

Укажите решение неравенства: sqrt(x-b)>=2*x (множество решений неравенства)

Вы ввели

  _______       
\/ x - b  >= 2*x

$$\sqrt{- b + x} \geq 2 x$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sqrt{- b + x} \geq 2 x$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sqrt{- b + x} = 2 x$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sqrt{- b + x} = 2 x$$
$$\sqrt{- b + x} = 2 x$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$- b + x = 4 x^{2}$$
$$- b + x = 4 x^{2}$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- b - 4 x^{2} + x = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -4$$
$$b = 1$$
$$c = - b$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (-4) * (-b) = 1 - 16*b

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = - \frac{1}{8} \sqrt{- 16 b + 1} + \frac{1}{8}$$
$$x_{2} = \frac{1}{8} \sqrt{- 16 b + 1} + \frac{1}{8}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{8} \sqrt{- 16 b + 1} + \frac{1}{8}$$
$$x_{2} = \frac{1}{8} \sqrt{- 16 b + 1} + \frac{1}{8}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{8} \sqrt{- 16 b + 1} + \frac{1}{8}$$
$$x_{2} = \frac{1}{8} \sqrt{- 16 b + 1} + \frac{1}{8}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{1}{8} \sqrt{- 16 b + 1} + \frac{1}{8}$$
$$x_{2} = \frac{1}{8} \sqrt{- 16 b + 1} + \frac{1}{8}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

      __________     
1   \/ 1 - 16*b    1 
- - ------------ - --
8        8         10

=
$$- \frac{1}{8} \sqrt{- 16 b + 1} + \frac{1}{40}$$
подставляем в выражение
$$\sqrt{- b + x} \geq 2 x$$

     ___________________________                             
    /       __________                /      __________     \
   /  1   \/ 1 - 16*b    1            |1   \/ 1 - 16*b    1 |
  /   - - ------------ - -- - b  >= 2*|- - ------------ - --|
\/    8        8         10           \8        8         10/

     _______________________           __________
    /            __________     1    \/ 1 - 16*b 
   /  1        \/ 1 - 16*b   >= -- - ------------
  /   -- - b - ------------     20        4      
\/    40            8           

Тогда
$$x \leq - \frac{1}{8} \sqrt{- 16 b + 1} + \frac{1}{8}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \frac{1}{8} \sqrt{- 16 b + 1} + \frac{1}{8} \wedge x \leq \frac{1}{8} \sqrt{- 16 b + 1} + \frac{1}{8}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2