log(4*x)-5-2*log(4*x)>=2*log(4*x) (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(4*x)-5-2*log(4*x)>=2*log(4*x) (множество решений неравенства)

Вы ввели

log(4*x) - 5 - 2*log(4*x) >= 2*log(4*x)

$$\log{\left (4 x \right )} - 5 - 2 \log{\left (4 x \right )} \geq 2 \log{\left (4 x \right )}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\log{\left (4 x \right )} - 5 - 2 \log{\left (4 x \right )} \geq 2 \log{\left (4 x \right )}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\log{\left (4 x \right )} - 5 - 2 \log{\left (4 x \right )} = 2 \log{\left (4 x \right )}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\log{\left (4 x \right )} - 5 - 2 \log{\left (4 x \right )} = 2 \log{\left (4 x \right )}$$
$$- 3 \log{\left (4 x \right )} = 5$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при log =-3
$$\log{\left (4 x \right )} = - \frac{5}{3}$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда
$$4 x = e^{- \frac{5}{3}}$$
упрощаем
$$4 x = e^{- \frac{5}{3}}$$
$$x = \frac{1}{4 e^{\frac{5}{3}}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{4 e^{\frac{5}{3}}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{4 e^{\frac{5}{3}}}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{4 e^{\frac{5}{3}}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{4 \left(e^{1}\right)^{\frac{5}{3}}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{4 e^{\frac{5}{3}}}$$
подставляем в выражение
$$\log{\left (4 x \right )} - 5 - 2 \log{\left (4 x \right )} \geq 2 \log{\left (4 x \right )}$$

   /  / -5/3     \\            /  / -5/3     \\         /  / -5/3     \\
   |  |e       1 ||            |  |e       1 ||         |  |e       1 ||
log|4*|----- - --|| - 5 - 2*log|4*|----- - --|| >= 2*log|4*|----- - --||
   \  \  4     10//            \  \  4     10//         \  \  4     10//

        /2    -5/3\                /2    -5/3\         
-5 - log|- - e    | - pi*I >= 2*log|- - e    | + 2*pi*I
        \5        /                \5        /         

Тогда
$$x \leq \frac{1}{4 e^{\frac{5}{3}}}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x \geq \frac{1}{4 e^{\frac{5}{3}}}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1

Быстрый ответ

   /      -5/3         \
   |     e             |
And|x <= -----, -oo < x|
   \       4           /

$$x \leq \frac{1}{4 e^{\frac{5}{3}}} \wedge -\infty < x$$

Быстрый ответ 2

       -5/3 
      e     
(-oo, -----]
        4   

$$x \in \left(-\infty, \frac{1}{4 e^{\frac{5}{3}}}\right]$$

График