log(2)/log(x)>1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(2)/log(x)>1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

log(2)    
------ > 1
log(x)    

$$\frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (x \right )}} > 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (x \right )}} > 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (x \right )}} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (x \right )}} = 1$$
преобразуем
$$-1 + \frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (x \right )}} = 0$$
$$-1 + \frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (x \right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \log{\left (x \right )}$$
Дано уравнение:
$$-1 + \frac{1}{w} \log{\left (2 \right )} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = 1

b1 = -1

a2 = -1

b2 = w/log(2)

зн. получим ур-ние
$$\frac{w}{\log{\left (2 \right )}} = 1$$
$$\frac{w}{\log{\left (2 \right )}} = 1$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

w/log2 = 1

Разделим обе части ур-ния на 1/log(2)

w = 1 / (1/log(2))

Получим ответ: w = log(2)
делаем обратную замену
$$\log{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\log{\left (x \right )} = w$$
$$\log{\left (x \right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

     w
     -
     1
x = e 

упрощаем
$$x = e^{w}$$
подставляем w:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{19}{10}$$
=
$$\frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$\frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (x \right )}} > 1$$
$$\frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (\frac{19}{10} \right )}} > 1$$

      log(2)          
------------------ > 1
-log(10) + log(19)    

значит решение неравенства будет при:
$$x < 2$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

And(1 < x, x < 2)

$$1 < x \wedge x < 2$$

Быстрый ответ 2

(1, 2)

$$x \in \left(1, 2\right)$$

График