log(25-x^2)/log(5)*log(25 ... 3*log(25-x^2)/log(5)+2>=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(25-x^2)/log(5)*log(25-x^2)/log(5)-3*log(25-x^2)/log(5)+2>=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   /      2\                                       
log\25 - x /    /      2\                          
------------*log\25 - x /        /      2\         
   log(5)                   3*log\25 - x /         
------------------------- - -------------- + 2 >= 0
          log(5)                log(5)             

$$\frac{\log{\left (- x^{2} + 25 \right )}}{\log{\left (5 \right )}} \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \log{\left (- x^{2} + 25 \right )} - \frac{3 \log{\left (- x^{2} + 25 \right )}}{\log{\left (5 \right )}} + 2 \geq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\frac{\log{\left (- x^{2} + 25 \right )}}{\log{\left (5 \right )}} \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \log{\left (- x^{2} + 25 \right )} - \frac{3 \log{\left (- x^{2} + 25 \right )}}{\log{\left (5 \right )}} + 2 \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{\log{\left (- x^{2} + 25 \right )}}{\log{\left (5 \right )}} \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \log{\left (- x^{2} + 25 \right )} - \frac{3 \log{\left (- x^{2} + 25 \right )}}{\log{\left (5 \right )}} + 2 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\frac{\log{\left (- x^{2} + 25 \right )}}{\log{\left (5 \right )}} \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \log{\left (- x^{2} + 25 \right )} - \frac{3 \log{\left (- x^{2} + 25 \right )}}{\log{\left (5 \right )}} + 2 = 0$$
преобразуем
$$\frac{1}{\log^{2}{\left (5 \right )}} \left(\log^{2}{\left (- x^{2} + 25 \right )} - \log{\left (125 \right )} \log{\left (- x^{2} + 25 \right )} + 2 \log^{2}{\left (5 \right )}\right) = 0$$
$$\frac{1}{\log^{2}{\left (5 \right )}} \left(\log^{2}{\left (- x^{2} + 25 \right )} - \log{\left (125 \right )} \log{\left (- x^{2} + 25 \right )} + 2 \log^{2}{\left (5 \right )}\right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = \log{\left (- x^{2} + 25 \right )}$$
Раскроем выражение в уравнении
$$\frac{1}{\log^{2}{\left (5 \right )}} \left(w^{2} - w \log{\left (125 \right )} + 2 \log^{2}{\left (5 \right )}\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$\frac{w^{2}}{\log^{2}{\left (5 \right )}} - \frac{3 w}{\log{\left (5 \right )}} + 2 = 0$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = \frac{1}{\log^{2}{\left (5 \right )}}$$
$$b = - \frac{3}{\log{\left (5 \right )}}$$
$$c = 2$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3/log(5))^2 - 4 * (log(5)^(-2)) * (2) = log(5)^(-2)

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 2 \log{\left (5 \right )}$$
$$w_{2} = \log{\left (5 \right )}$$
делаем обратную замену
$$\log{\left (- x^{2} + 25 \right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{5}$$
$$x_{3} = 2 \sqrt{5}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{5}$$
$$x_{3} = 2 \sqrt{5}$$
Данные корни
$$x_{2} = - 2 \sqrt{5}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{3} = 2 \sqrt{5}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=

      ___   1 
- 2*\/ 5  - --
            10

=
$$- 2 \sqrt{5} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\frac{\log{\left (- x^{2} + 25 \right )}}{\log{\left (5 \right )}} \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \log{\left (- x^{2} + 25 \right )} - \frac{3 \log{\left (- x^{2} + 25 \right )}}{\log{\left (5 \right )}} + 2 \geq 0$$

   /                     2\                                                                     
   |     /      ___   1 \ |                                                                     
log|25 - |- 2*\/ 5  - --| |    /                     2\                                         
   \     \            10/ /    |     /      ___   1 \ |        /                     2\         
---------------------------*log|25 - |- 2*\/ 5  - --| |        |     /      ___   1 \ |         
             1                 \     \            10/ /   3*log|25 - |- 2*\/ 5  - --| |         
          log (5)                                              \     \            10/ /         
------------------------------------------------------- - ----------------------------- + 2 >= 0
                           1                                            1                       
                        log (5)                                      log (5)                    

        /                     2\        /                     2\     
       2|     /  1        ___\ |        |     /  1        ___\ |     
    log |25 - |- -- - 2*\/ 5 | |   3*log|25 - |- -- - 2*\/ 5 | |     
        \     \  10          / /        \     \  10          / / >= 0
2 + ---------------------------- - -----------------------------     
                 2                             log(5)                
              log (5)                                                

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq - 2 \sqrt{5}$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------•-------•-------•-------
       x2      x1      x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq - 2 \sqrt{5}$$
$$x \geq 0 \wedge x \leq 2 \sqrt{5}$$

Быстрый ответ

  /                ___          ___\
Or\x = 0, x = -2*\/ 5 , x = 2*\/ 5 /

$$x = 0 \vee x = - 2 \sqrt{5} \vee x = 2 \sqrt{5}$$

Быстрый ответ 2

         ___      ___ 
{0, -2*\/ 5 , 2*\/ 5 }

$$x \in \left\{0, - 2 \sqrt{5}, 2 \sqrt{5}\right\}$$