log(5)-x*(x+3)<=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(5)-x*(x+3)<=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

log(5) - x*(x + 3) <= 0

$$- x \left(x + 3\right) + \log{\left(5 \right)} \leq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$- x \left(x + 3\right) + \log{\left(5 \right)} \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- x \left(x + 3\right) + \log{\left(5 \right)} = 0$$
Решаем:
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(- x \left(x + 3\right) + \log{\left(5 \right)}\right) + 0 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$- x^{2} - 3 x + \log{\left(5 \right)} = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = -3$$
$$c = \log{\left(5 \right)}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (-1) * (log(5)) = 9 + 4*log(5)

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2} - \frac{3}{2}$$
Упростить
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2}$$
Упростить
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2} - \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2} - \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2} - \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2} - \frac{3}{2}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2} - \frac{8}{5}$$
подставляем в выражение
$$- x \left(x + 3\right) + \log{\left(5 \right)} \leq 0$$
$$- \left(\left(- \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2} - \frac{8}{5}\right) + 3\right) \left(- \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2} - \frac{8}{5}\right) + \log{\left(5 \right)} \leq 0$$

  /        ______________\ /      ______________\              
  |  8   \/ 9 + 4*log(5) | |7   \/ 9 + 4*log(5) |              
- |- - - ----------------|*|- - ----------------| + log(5) <= 0
  \  5          2        / \5          2        /              
     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq - \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2} - \frac{3}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq - \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2} - \frac{3}{2}$$
$$x \geq - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2}$$

Быстрый ответ

  /   /             ______________         \     /        ______________             \\
  |   |       3   \/ 9 + 4*log(5)          |     |  3   \/ 9 + 4*log(5)              ||
Or|And|x <= - - - ----------------, -oo < x|, And|- - + ---------------- <= x, x < oo||
  \   \       2          2                 /     \  2          2                     //

$$\left(x \leq - \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2} - \frac{3}{2} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2} \leq x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

              ______________             ______________     
        3   \/ 9 + 4*log(5)        3   \/ 9 + 4*log(5)      
(-oo, - - - ----------------] U [- - + ----------------, oo)
        2          2               2          2             

$$x\ in\ \left(-\infty, - \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2} - \frac{3}{2}\right] \cup \left[- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2}, \infty\right)$$

График